№ 16 ЗПС = № 16 ЗПС
Доведіть, що коли $x+y+z=7$ і $x\geq0$, $y\geq0$, $z\geq0$, то
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}<5$.
Розв’язок:
$\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)^{2}=$
$=x+y+z+2\left( \sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz} \right)\leq$
$\leq7+2\left( \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2} \right)=$
$=7+2\cdot7=21$
Отже, $\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)^{2}\leq21$,
звідки $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq\sqrt{21}$.
Оскільки $\sqrt{21}<\sqrt{25}=5$, то $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}<5$.
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}=$
$=x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})\leq$
$\leq7+2\left( \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2} \right)=$
$=7+2\cdot7=21$
Отже, $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\leq21$, звідки $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq\sqrt{21}$.
Оскільки $\sqrt{21}<\sqrt{25}=5$, то $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}<5$.