№ 19 ЗПС = № 19 ЗПС
Чи існує таке значення $a$, щоб розв’язком системи
$\begin{cases} x\leq6 \\ x<a \end{cases}$
був проміжок: 1) $(-\infty;7)$; 2) $(-\infty;6)$; 3) $(-\infty;6\rbrack$; 4) $(-\infty;5)$?
Розв’язок:
Розв’язком системи є перетин проміжків $(-\infty;\, 6\rbrack$ і $(-\infty;\, a)$, який залежить від взаємного розташування чисел $a$ і $6$ на координатній прямій. Розглянемо три випадки:
Рис.1
Рис.2
Рис.3
1) $(-\infty;\, 7)$ — нерівність $x\leq6$ вже обмежує розв’язок зверху числом $6$, тож одержати $7$ як верхню межу неможливо. Не існує.
2) $(-\infty;\, 6)$ — якщо $a=6$, система набуває вигляду $\begin{cases} x\leq6 \\ x<6 \end{cases}$, перетин — $x<6$ (рис. 1). Існує, при $a=6$.
3) $(-\infty;\, 6\rbrack$ — якщо $a>6$, то нерівність $x<a$ не обмежує розв’язок додатково, і залишається $x\leq6$ (рис. 2). Існує, при будь-якому $a>6$.
4) $(-\infty;\, 5)$ — якщо $a=5$ (як приклад $a<6$), система набуває вигляду $\begin{cases} x\leq6 \\ x<5 \end{cases}$, перетин — $x<5$ (рис. 3). Існує, при $a=5$.
Відповідь:
1) Ні; 2) так, при $a=6$ (рис. 1); 3) так, при $a>6$ (рис. 2); 4) так, при $a=5$ (рис. 3).