№ 20 ЗПС = № 20 ЗПС
Доведіть, що графік функції $y=(x-a)(x-b)-c^{2}$ за будь-яких значень $a,b$ і $c$ має з віссю $x$ хоча б одну спільну точку.
Розв’язок:
$(x-a)(x-b)-c^{2}=0$
$x^{2}-ax-bx+ab-c^{2}=0$
$x^{2}-(a+b)x+ab-c^{2}=0$
Це квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант:
$D=(a+b)^{2}-4(ab-c^{2})=$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab+4c^{2}=$
$=a^{2}-2ab+b^{2}+4c^{2}=$
$=(a-b)^{2}+4c^{2}$
Оскільки $(a-b)^{2}\geq0$ та $4c^{2}\geq0$ для будь-яких дійсних $a,b,c$, то їх сума $D\geq0$.
Якщо $D>0$, то квадратний тричлен має два різні корені, і графік функції перетинає вісь $Ox$ у двох точках.
Якщо $D=0$ (що можливо при $a=b$ та $c=0$), то квадратний тричлен має один корінь, і графік функції має з віссю $Ox$ одну спільну точку.
Отже, у будь-якому випадку графік функції має з віссю $x$ хоча б одну спільну точку, що й треба було довести.