№ 25 ЗПС = № 25 ЗПС
Побудуйте графік функції:
1) $y=||x^{2}-1|-3|$;
2) $y=\frac{|x|}{|x|-2}$.
Розв’язок:
1) Будуємо графік функції $y=x^{2}-1$ — параболу $y=x^{2}$, перенесену вздовж осі $y$ на 1 одиницю вниз:
Частину графіка, яка лежить нижче від осі $x$, симетрично відображаємо відносно цієї осі й одержуємо графік функції $y=|x^{2}-1|$:
Переносимо цей графік на 3 одиниці вниз й одержуємо графік функції $y=|x^{2}-1|-3$:
Частину графіка, яка лежить нижче від осі $x$, симетрично відображаємо відносно цієї осі й одержуємо графік функції $y=\left| |x^{2}-1|-3 \right|$:
2) Функцію $y=\frac{|x|}{|x|-2}$ визначено, якщо $|x|\neq2$, тобто $x\neq-2$ і $x\neq2$.
Для $x\geq0$:
$y=\frac{x}{x-2}=\frac{x-2+2}{x-2}=$
$=\frac{x-2}{x-2}+\frac{2}{x-2}=$
$=1+\frac{2}{x-2}$, де $x\neq2$.
Для $x<0$:
$y=\frac{-x}{-x-2}=\frac{x}{x+2}=$
$=\frac{x+2-2}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}$, де $x\neq-2$.
Графік функції $y=1+\frac{2}{x-2}$ (синій) — гіпербола $y=\frac{2}{x}$, перенесена на 2 одиниці праворуч і на 1 одиницю вгору.
Графік функції $y=1-\frac{2}{x+2}$ (червоний) — гіпербола $y=-\frac{2}{x}$, перенесена на 2 одиниці ліворуч і на 1 одиницю вгору:
Для $x\geq0$ беремо частину синього графіка, для $x<0$ — частину червоного й одержуємо графік функції $y=\frac{|x|}{|x|-2}$:
