№ 26 ЗПС = № 26 ЗПС
Доведіть, що нерівність $\frac{x-a}{x-b}<0$ рівносильна нерівності $(x-a)(x-b)<0$, а нерівність $\frac{x-a}{x-b}>0$ рівносильна нерівності $(x-a)(x-b)>0$.
Розв’язок:
Частка двох чисел від’ємна тоді й лише тоді, коли ці числа мають різні знаки.
Тому нерівність $\frac{x-a}{x-b}<0$ справджується тоді й лише тоді, коли
$\begin{cases} x-a>0, \\ x-b<0 \end{cases}\ \text{ або }\begin{cases} x-a<0, \\ x-b>0. \end{cases}$
Добуток двох чисел від’ємний за тих самих умов: коли множники мають різні знаки.
Отже, нерівність $\frac{x-a}{x-b}<0$ рівносильна нерівності
$(x-a)(x-b)<0$.
Частка й добуток двох чисел додатні тоді й лише тоді, коли ці числа мають однакові знаки, тобто коли
$\begin{cases} x-a>0, \\ x-b>0 \end{cases}\ \text{ або }\begin{cases} x-a<0, \\ x-b<0. \end{cases}$
Отже, нерівність $\frac{x-a}{x-b}>0$ рівносильна нерівності
$(x-a)(x-b)>0$.