№ 27 ЗПС = № 27 ЗПС
Використовуючи результати попередньої задачі, розв’яжіть нерівність:
1) $\frac{x}{x-2}>0$;
2) $\frac{x+3}{x-1}<0$;
3) $\frac{2x-7}{x}>0$;
4) $\frac{2x-7}{5x+1}<0$.
Розв’язок:
1) За результатом задачі 26 нерівність $\frac{x}{x-2}>0$ рівносильна нерівності $x(x-2)>0$.
Нулі функції $y=x(x-2)$ — числа $0$ і $2$, гілки параболи спрямовані вгору.
Тому $y>0$, якщо $x<0$ або $x>2$:
$x \in (-\infty;0) \cup (2;+\infty)$;
2) За результатом задачі 26 нерівність $\frac{x+3}{x-1}<0$ рівносильна нерівності $(x+3)(x-1)<0$.
Нулі функції $y=(x+3)(x-1)$ — числа $-3$ і $1$, гілки параболи спрямовані вгору.
Тому $y<0$, якщо $-3<x<1$:
$x \in (-3;1)$;
3) Так само нерівність $\frac{2x-7}{x}>0$ рівносильна нерівності $(2x-7)x>0$.
Нулі функції $y=(2x-7)x$ — числа $0$ і $3{,}5$, гілки параболи спрямовані вгору.
Тому $y>0$, якщо $x<0$ або $x>3{,}5$:
$x \in (-\infty;0) \cup (3{,}5;+\infty)$;
4) Так само нерівність $\frac{2x-7}{5x+1}<0$ рівносильна нерівності $(2x-7)(5x+1)<0$.
Нулі функції $y=(2x-7)(5x+1)$ — числа $-0{,}2$ і $3{,}5$, гілки параболи спрямовані вгору.
Тому $y<0$, якщо $-0{,}2<x<3{,}5$:
$x \in (-0{,}2;3{,}5)$.
Відповідь:
1) $(-\infty;0) \cup (2;+\infty)$;
2) $(-3;1)$;
3) $(-\infty;0) \cup (3{,}5;+\infty)$;
4) $(-0{,}2;3{,}5)$.