№ 28 ЗПС = № 28 ЗПС
Розв’яжіть нерівність:
1) $|x^{2}+3x|>4$;
2) $|x^{2}+4x|<5$;
3) $|2x^{2}+5x-4|\leq3$;
4) $|2+4x-3x^{2}|\geq2$.
Розв’язок:
1) Нерівність $|x^{2}+3x|>4$ справджується, якщо
$x^{2}+3x>4$ або $x^{2}+3x<-4$.
а) $x^{2}+3x-4>0$.
Нулі функції $y=x^{2}+3x-4$ — числа $-4$ і $1$, гілки параболи спрямовані вгору, тому $x<-4$ або $x>1$.
б) $x^{2}+3x+4<0$.
$D=3^{2}-4\cdot4=-7<0$, гілки параболи спрямовані вгору, тобто парабола лежить вище від осі $x$, і нерівність розв’язків не має.
Отже, $x \in (-\infty;-4) \cup (1;+\infty)$.
2) Нерівність $|x^{2}+4x|<5$ рівносильна системі:
$\begin{cases} x^{2}+4x<5, \\ x^{2}+4x>-5; \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+4x-5<0, \\ x^{2}+4x+5>0. \end{cases}$
Нулі функції $y=x^{2}+4x-5$ — числа $-5$ і $1$, гілки параболи спрямовані вгору, тому перша нерівність справджується, якщо $-5<x<1$.
Для $x^{2}+4x+5$: $D=4^{2}-4\cdot5=-4<0$, гілки параболи спрямовані вгору, тому друга нерівність справджується за будь-якого значення $x$.
Отже, $x \in (-5;1)$.
3) Нерівність $|2x^{2}+5x-4|\leq3$ рівносильна системі:
$\begin{cases} 2x^{2}+5x-4\leq3, \\ 2x^{2}+5x-4\geq-3; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x^{2}+5x-7\leq0, \\ 2x^{2}+5x-1\geq0. \end{cases}$
Нулі функції $y=2x^{2}+5x-7$ — числа $-3{,}5$ і $1$, гілки параболи спрямовані вгору, тому перша нерівність справджується, якщо $-3{,}5\leq x\leq1$.
Нулі функції $y=2x^{2}+5x-1$ — числа $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ і $\frac{\sqrt{33}-5}{4}$, гілки параболи спрямовані вгору, тому друга нерівність справджується, якщо
$x\leq\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ або $x\geq\frac{\sqrt{33}-5}{4}$.
Оскільки $5<\sqrt{33}<6$, то $-2{,}75<\frac{-5-\sqrt{33}}{4}<-2{,}5$ і $0<\frac{\sqrt{33}-5}{4}<0{,}25$. Отже, спільні розв’язки нерівностей:
$x \in \left\lbrack-3{,}5;\frac{-5-\sqrt{33}}{4} \right\rbrack \cup \left\lbrack \frac{\sqrt{33}-5}{4};1 \right\rbrack.$
4) Нерівність $|2+4x-3x^{2}|\geq2$ справджується, якщо
$2+4x-3x^{2}\geq2$ або $2+4x-3x^{2}\leq-2$.
а) $-3x^{2}+4x\geq0$; $3x^{2}-4x\leq0$.
Нулі функції $y=3x^{2}-4x$ — числа $0$ і $1\frac{1}{3}$, гілки параболи спрямовані вгору, тому $0\leq x\leq1\frac{1}{3}$.
б) $-3x^{2}+4x+4\leq0$; $3x^{2}-4x-4\geq0$.
Нулі функції $y=3x^{2}-4x-4$ — числа $-\frac{2}{3}$ і $2$, гілки параболи спрямовані вгору, тому $x\leq-\frac{2}{3}$ або $x\geq2$.
Об’єднаємо розв’язки:
Отже, $x \in \left(-\infty;-\frac{2}{3} \right\rbrack \cup \left\lbrack 0;1\frac{1}{3} \right\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.
Відповідь:
1) $(-\infty;-4) \cup (1;+\infty)$; 2) $(-5;1)$;
3) $\left\lbrack-3{,}5;\frac{-5-\sqrt{33}}{4} \right\rbrack \cup \left\lbrack \frac{\sqrt{33}-5}{4};1 \right\rbrack$;
4) $\left(-\infty;-\frac{2}{3} \right\rbrack \cup \left\lbrack 0;1\frac{1}{3} \right\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.