№ 28 ЗПС = № 28 ЗПС
Розв’яжіть нерівність:
1) $|x^{2}+3x|>4$;
2) $|x^{2}+4x|<5$;
3) $|2x^{2}+5x-4|\leq3$;
4) $|2+4x-3x^{2}|\geq2$.
Розв’язок:
1) Нерівність $|x^{2}+3x|>4$ рівносильна двом нерівностям: $x^{2}+3x>4$ і $x^{2}+3x<-4$.
а) $x^{2}+3x>4$; $x^{2}+3x-4>0$; $(x+4)(x-1)>0$; $x \in (-\infty;-4) \cup (1;+\infty)$.
б) $x^{2}+3x<-4$; $x^{2}+3x+4<0$; $D=9-4\cdot4=$
$=9-16=-7$. $x \in \varnothing$.
Відповідь:
$(-\infty;-4) \cup (1;+\infty)$.
2) Нерівність $|x^{2}+4x|<5$ рівносильна системі:
$\begin{cases} x^{2}+4x<5 \\ x^{2}+4x>-5 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+4x-5<0 \\ x^{2}+4x+5>0 \end{cases}$
$\begin{cases} (x-1)(x+5)<0 \\ x\mathbb{\in R} \end{cases}$
$\begin{cases} x \in (-5;1) \\ x\mathbb{\in R} \end{cases}$
$x \in (-5;1)$.
Відповідь:
$(-5;1)$.
3) Нерівність $|2x^{2}+5x-4|\leq3$ рівносильна системі:
$\begin{cases} 2x^{2}+5x-4\leq3 \\ 2x^{2}+5x-4\geq-3 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x^{2}+5x-7\leq0 \\ 2x^{2}+5x-1\geq0 \end{cases}$
Корені $2x^{2}+5x-7=0$: $x=1$ і $x=-3{,}5$ → $x \in \lbrack-3{,}5;\, 1\rbrack$.
Корені $2x^{2}+5x-1=0$: $x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$ → $x\leq\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ або $x\geq\frac{\sqrt{33}-5}{4}$.
Перетин:
$x \in \left\lbrack-3{,}5;\,\frac{-5-\sqrt{33}}{4} \right\rbrack \cup \left\lbrack \frac{\sqrt{33}-5}{4};\, 1 \right\rbrack$
Відповідь:
$\left\lbrack-3{,}5;\,\frac{-5-\sqrt{33}}{4} \right\rbrack \cup \left\lbrack \frac{\sqrt{33}-5}{4};\, 1 \right\rbrack$.
4) Нерівність $|2+4x-3x^{2}|\geq2$ рівносильна двом нерівностям: $2+4x-3x^{2}\geq2$ або $2+4x-3x^{2}\leq-2$.
а) $-3x^{2}+4x\geq0$; $3x^{2}-4x\leq0$; $3x(x-\frac{4}{3})\leq0$; $x \in \lbrack 0;1\frac{1}{3}\rbrack$.
б) $-3x^{2}+4x+4\leq0$; $3x^{2}-4x-4\geq0$; $3(x-2)(x+\frac{2}{3})\geq0$; $x \in (-\infty;-\frac{2}{3}\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.
$x \in (-\infty;-\frac{2}{3}\rbrack \cup \lbrack 0;1\frac{1}{3}\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.
Відповідь:
$(-\infty;-\frac{2}{3}\rbrack \cup \lbrack 0;1\frac{1}{3}\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.