№ 29 ЗПС = № 29 ЗПС
Знайдіть розв’язки нерівності:
$(x^{2}+4x+10)^{2}-7(x^{2}+4x+11)+7\leq0$
Розв’язок:
$(x^{2}+4x+10)^{2}-7(x^{2}+4x+10+1)+7\leq0$
$(x^{2}+4x+10)^{2}-7(x^{2}+4x+10)-7+7\leq0$
Нехай $x^{2}+4x+10=t$, тоді:
$t^{2}-7t\leq0$
$t(t-7)\leq0$
$t \in \lbrack 0;7\rbrack$
Це рівносильно системі:
$\begin{cases} t\geq0 \\ t\leq7 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+4x+10\geq0 \\ x^{2}+4x+10\leq7 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+4x+10\geq0 \\ x^{2}+4x+3\leq0 \end{cases}$
Перша нерівність $x^{2}+4x+10\geq0$ виконується для всіх $x\mathbb{\in R}$, оскільки дискримінант $D=16-40=-24<0$, а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний.
Для другої нерівності:
$(x+1)(x+3)\leq0$
$x \in \lbrack-3;-1\rbrack$
Отже, розв’язком системи є $x \in \lbrack-3;-1\rbrack$.
Відповідь:
$\lbrack-3;-1\rbrack$