№ 30 ЗПС = № 30 ЗПС
За яких значень $a$ областю визначення функції $y=\sqrt{(a+1)x^{2}-2(a-1)x+(3a-3)}$ є множина всіх чисел?
Розв’язок:
$(a+1)x^{2}-2(a-1)x+(3a-3)\geq0$ для всіх $x$.
Якщо $a=-1$, то маємо нерівність
$4x-6\geq0,$
яка справджується не для всіх $x$ (наприклад, не справджується за $x=0$).
Якщо $a\neq-1$, то квадратний тричлен набуває невід’ємних значень для всіх $x$, коли його старший коефіцієнт додатний, а дискримінант недодатний:
$\begin{cases} a+1>0, \\ D\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a+1>0, \\ 4(a-1)^{2}-4(a+1)\cdot3(a-1)\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a+1>0, \\ 4(a-1)^{2}-12(a^{2}-1)\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\ (a-1)^{2}-3(a^{2}-1)\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\ a^{2}-2a+1-3a^{2}+3\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\-2a^{2}-2a+4\leq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\ a^{2}+a-2\geq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\ (a+2)(a-1)\geq0; \end{cases}$
$\begin{cases} a>-1, \\ a\leq-2\text{ або }a\geq1; \end{cases}$
$a \in \lbrack 1;+\infty)$.
Відповідь:
$\lbrack 1;+\infty)$.