№ 3 ЗПС = № 3 ЗПС
Доведіть, що для невід’ємних значень змінних $x$ та $y$ справджується нерівність:
1) $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}$;
2) $(x+y)^{3}\leq4(x^{3}+y^{3})$.
Розв’язок:
1) Нехай $x\geq0$, $y\geq0$. Оскільки
$x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=$
$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})-xy(x+y)=$
$=(x+y)\left( x^{2}-xy+y^{2}-xy \right)=$
$=(x+y)(x^{2}-2xy+y^{2})=$
$=(x+y)(x-y)^{2}\geq0$
то $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}$.
2) Нехай $x\geq0$, $y\geq0$. Оскільки
$(x+y)^{3}-4(x^{3}+y^{3})=$
$=(x+y)^{3}-4(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=$
$=(x+y)((x+y)^{2}-4x^{2}+4xy-4y^{2})=$
$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-4x^{2}+4xy-4y^{2})=$
$=(x+y)(-3x^{2}+6xy-3y^{2})=$
$=-3(x+y)(x^{2}-2xy+y^{2})=$
$=-3(x+y)(x-y)^{2}\leq0$
то $(x+y)^{3}\leq4(x^{3}+y^{3})$.