№ 4 ЗПС = № 4 ЗПС
Доведіть, що коли $x\geq y$, то:
1) $x^{3}-y^{3}\geq x^{2}y-xy^{2}$;
2) $x^{5}-y^{5}\geq x^{4}y-xy^{4}$.
Розв’язок:
1) Нехай $x\geq y$. Оскільки
$x^{3}-y^{3}-x^{2}y+xy^{2}=$
$=\left( x^{3}-y^{3} \right)-xy(x-y)=$
$=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-xy(x-y)=$
$=(x-y)(x^{2}+y^{2})\geq0$
то $x^{3}-y^{3}\geq x^{2}y-xy^{2}$.
2) Нехай $x\geq y$. Оскільки
$\left( x^{5}-y^{5} \right)-\left( x^{4}y-xy^{4} \right)=$
$=x^{5}-y^{5}-x^{4}y+xy^{4}=$
$=(x^{5}-x^{4}y)-(y^{5}-xy^{4})=$
$=x^{4}(x-y)-y^{4}(y-x)=$
$=x^{4}(x-y)+y^{4}(x-y)=$
$=(x-y)(x^{4}+y^{4})\geq0$
то $x^{5}-y^{5}\geq x^{4}y-xy^{4}$.