№ 31 ЗПС = № 31 ЗПС
За яких значень $m$ квадратний тричлен $mx^{2}-7x+4m$ набуває від’ємних значень для будь-яких значень $x$?
Розв’язок:
Квадратний тричлен набуває від’ємних значень для будь-яких $x$, якщо коефіцієнт при $x^{2}$ від’ємний і дискримінант від’ємний:
$\begin{cases} m<0 \\ D<0 \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\ 49-4\cdot4m\cdot m<0 \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\ 49-16m^{2}<0 \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\-16m^{2}<-49 \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\ 16m^{2}>49 \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\ m^{2}>\frac{49}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} m<0 \\ m<-\frac{7}{4}\text{ або }m>\frac{7}{4} \end{cases}$
Оскільки має виконуватися умова $m<0$, то з двох проміжків для $m$ підходить лише $m<-\frac{7}{4}$.
$m \in (-\infty;-1\frac{3}{4})$
Відповідь:
$(-\infty;-1\frac{3}{4})$.