№ 32 ЗПС = № 32 ЗПС
За яких значень $a$ нерівність
$\frac{x^{2}+ax-1}{2x^{2}-2x+3}<1$
справджується для всіх значень $x$?
Розв’язок:
$\frac{x^{2}+ax-1}{2x^{2}-2x+3}<1$
$\frac{x^{2}+ax-1}{2x^{2}-2x+3}-1<0$
$\frac{x^{2}+ax-1-2x^{2}+2x-3}{2x^{2}-2x+3}<0$
$\frac{-x^{2}+(a+2)x-4}{2x^{2}-2x+3}<0$
$\frac{x^{2}-(a+2)x+4}{2x^{2}-2x+3}>0$
Оскільки $2x^{2}-2x+3>0$ для всіх $x\mathbb{\in R}$ (бо $2>0$ і $D<0$).
Тоді з’ясуємо, при яких значеннях $a$ нерівність $x^{2}-(a+2)x+4>0$ справджується для всіх $x\mathbb{\in R}$:
$\begin{cases} 1>0, \\ D<0; \end{cases}$
$(a+2)^{2}-4\cdot4<0$
$(a+2)^{2}<16$
$-4<a+2<4$
$-2-4<a+2-2<4-2$
$-6<a<2$
Відповідь:
$-6<a<2$.