№ 33 ЗПС = № 33 ЗПС
За яких значень $b$ подвійна нерівність
$-9<\frac{3x^{2}+bx-6}{x^{2}-x+1}<6$
справджується для будь-якого значення $x$?
Розв’язок:
Оскільки $x^{2}-x+1>0$ для всіх $x\mathbb{\in R}$, маємо:
$-9(x^{2}-x+1)<3x^{2}+bx-6<6(x^{2}-x+1)$
$-9x^{2}+9x-9<3x^{2}+bx-6<6x^{2}-6x+6$
Розв’яжемо систему нерівностей:
$\begin{cases} 3x^{2}+bx-6>-9x^{2}+9x-9 \\ 3x^{2}+bx-6<6x^{2}-6x+6 \end{cases}$
$\begin{cases} 12x^{2}+(b-9)x+3>0 \\-3x^{2}+(b+6)x-12<0 \end{cases}$
Для того щоб нерівності справджувалися для будь-якого $x$, дискримінанти відповідних квадратних тричленів мають бути від’ємними:
$\begin{cases} D_{1}=(b-9)^{2}-4\cdot12\cdot3<0 \\ D_{2}=(b+6)^{2}-4\cdot(-3)\cdot(-12)<0 \end{cases}$
$\begin{cases} (b-9)^{2}-144<0 \\ (b+6)^{2}-144<0 \end{cases}$
$\begin{cases} (b-9)^{2}<144 \\ (b+6)^{2}<144 \end{cases}$
$\begin{cases}-12<b-9<12 \\-12<b+6<12 \end{cases}$
$\begin{cases}-3<b<21 \\-18<b<6 \end{cases}$
Знайдемо перетин отриманих інтервалів:
$b \in (-3;6)$
Відповідь:
$(-3;6)$.