№ 34 ЗПС = № 34 ЗПС
Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень $a$:
1) $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=4 \\ x-y=a \end{cases}$
2) $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=a^{2} \\ |x|=2 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
Графік першого рівняння — коло з центром у початку координат і радіусом 2, графік другого — пряма $y=x-a$. Кількість розв’язків системи дорівнює кількості спільних точок кола і прямої.
Підставимо $y=x-a$ у перше рівняння:
$x^{2}+(x-a)^{2}=4;$
$2x^{2}-2ax+a^{2}-4=0;$
$D=4a^{2}-8\left( a^{2}-4 \right)=$
$=32-4a^{2}.$
Якщо $|a|>2\sqrt{2}$, то $D<0$ — розв’язків немає;
якщо $|a|=2\sqrt{2}$, то $D=0$ — один розв’язок (пряма дотикається до кола);
якщо $|a|<2\sqrt{2}$, то $D>0$ — два розв’язки.
2)
Графік другого рівняння — прямі $x=\pm2$.
Графік першого рівняння за $a\neq0$ — коло з центром у початку координат і радіусом $|a|$.
Підставимо $x=\pm2$ у перше рівняння:
$y^{2}=a^{2}-4.$
Якщо $|a|<2$, то $a^{2}-4<0$ — розв’язків немає;
якщо $|a|=2$, то $y=0$ — два розв’язки;
якщо $|a|>2$, то $y=\pm\sqrt{a^{2}-4}$ — чотири розв’язки.
Відповідь:
1) якщо $|a|>2\sqrt{2}$, розв’язків немає;
якщо $|a|=2\sqrt{2}$, один розв’язок;
якщо $|a|<2\sqrt{2}$, два розв’язки;
2) якщо $|a|<2$, розв’язків немає;
якщо $|a|=2$, два розв’язки;
якщо $|a|>2$, чотири розв’язки.