№ 37 ЗПС = № 37 ЗПС
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} xy=15 \\ x^{2}+x+y^{2}+y=12 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} xy=-12 \\ x^{2}-x+y^{2}+y=18 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} xy=15 \\ x^{2}+x+y^{2}+y=12 \end{cases}$
Нехай $xy=a$, $x+y=b$. Тоді $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=b^{2}-2a$.
Система набуває вигляду:
$\begin{cases} a=15 \\ b^{2}-2a+b=12 \end{cases}$
$\begin{cases} a=15 \\ b^{2}+b-42=0 \end{cases}$
$b=-7$ або $b=6$.
Отже, маємо дві системи:
$\begin{cases} xy=15 \\ x+y=-7 \end{cases}$
та
$\begin{cases} xy=15 \\ x+y=6 \end{cases}$
а)
$\begin{cases} xy=15 \\ x+y=-7 \end{cases}$
$y=-7-x$.
$x(-7-x)=15 \Rightarrow-x^{2}-7x-15=0 \Rightarrow x^{2}+7x+15=0$.
Дискримінант $D=49-60=-11<0$, тому $x \in \varnothing$.
б)
$\begin{cases} xy=15 \\ x+y=6 \end{cases}$
$y=6-x$.
$x(6-x)=15 \Rightarrow-x^{2}+6x-15=0 \Rightarrow x^{2}-6x+15=0$.
Дискримінант $D=36-60=-24<0$, тому $x \in \varnothing$.
Відповідь:
Система не має розв’язків.
2)
$\begin{cases} xy=-12 \\ x^{2}-x+y^{2}+y=18 \end{cases}$
Нехай $xy=a$, $x-y=b$. Тоді $x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy=b^{2}+2a$.
Система набуває вигляду:
$\begin{cases} a=-12 \\ b^{2}+2a-b=18 \end{cases}$
$\begin{cases} a=-12 \\ b^{2}-b-42=0 \end{cases}$
$b=7$ або $b=-6$.
Отже, маємо дві системи:
а)
$\begin{cases} xy=-12 \\ x-y=7 \end{cases}$
$x=y+7$.
$(y+7)y=-12 \Rightarrow y^{2}+7y+12=0$.
$y_{1}=-3$, $y_{2}=-4$.
Якщо $y=-3$, то $x=4$.
Якщо $y=-4$, то $x=3$.
Розв’язки: $(4;-3)$, $(3;-4)$.
б)
$\begin{cases} xy=-12 \\ x-y=-6 \end{cases}$
$x=y-6$.
$(y-6)y=-12 \Rightarrow y^{2}-6y+12=0$.
Дискримінант $D=36-48=-12<0$, тому $x \in \varnothing$.
Відповідь:
$(3;-4)$, $(4;-3)$.