№ 38 ЗПС = № 38 ЗПС
Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1) $\begin{cases} x^{3}+y^{3}=9 \\ x+y=3 \end{cases}$
2) $\begin{cases} x-y=2 \\ x^{3}-y^{3}=26 \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} x^{3}+y^{3}=9 \\ x+y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=9 \\ x+y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} 3(x^{2}-xy+y^{2})=9 \\ x+y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}-xy+y^{2}=3 \\ y=3-x \end{cases}$
$x^{2}-x(3-x)+(3-x)^{2}=3$
$x^{2}-3x+x^{2}+9-6x+x^{2}=3$
$3x^{2}-9x+6=0$
$x^{2}-3x+2=0$
Корені рівняння: $x_{1}=2$, $x_{2}=1$.
Якщо $x_{1}=2$, то $y_{1}=3-2=1$.
Якщо $x_{2}=1$, то $y_{2}=3-1=2$.
Отже, система має розв’язки: $(2;1)$, $(1;2)$.
Відповідь:
$(1;2)$, $(2;1)$.
2)
$\begin{cases} x-y=2 \\ x^{3}-y^{3}=26 \end{cases}$
$\begin{cases} x-y=2 \\ (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=26 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-2 \\ 2(x^{2}+xy+y^{2})=26 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-2 \\ x^{2}+xy+y^{2}=13 \end{cases}$
$x^{2}+x(x-2)+(x-2)^{2}=13$
$x^{2}+x^{2}-2x+x^{2}-4x+4=13$
$3x^{2}-6x-9=0$
$x^{2}-2x-3=0$
Корені рівняння: $x_{1}=3$, $x_{2}=-1$.
Якщо $x_{1}=3$, то $y_{1}=3-2=1$.
Якщо $x_{2}=-1$, то $y_{2}=-1-2=-3$.
Отже, система має розв’язки: $(3;1)$, $(-1;-3)$.
Відповідь:
$(3;1)$, $(-1;-3)$.