№ 39 ЗПС = № 39 ЗПС
Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} x+y+z=4, \\ 2xy-z^{2}=16. \end{cases}$
Розв’язок:
Виразимо $z$ з першого рівняння і підставимо в друге:
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ 2xy-(4-x-y)^{2}=16; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ 2xy-(16+x^{2}+y^{2}-8x-8y+2xy)=16; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ 2xy-16-x^{2}-y^{2}+8x+8y-2xy=16; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\-x^{2}-y^{2}+8x+8y-16=16; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=-16; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ x^{2}+y^{2}-8x-8y+32=0; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ \left( x^{2}-8x+16 \right)+\left( y^{2}-8y+16 \right)=0; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ (x-4)^{2}+(y-4)^{2}=0; \end{cases}$
Сума двох квадратів дорівнює нулю, лише коли кожен із них дорівнює нулю:
$\begin{cases} z=4-x-y, \\ x=4, \\ y=4; \end{cases}$
$\begin{cases} z=4-4-4, \\ x=4, \\ y=4; \end{cases}$
$\begin{cases} z=-4, \\ x=4, \\ y=4. \end{cases}$
Відповідь:
$(4;4;-4)$.