№ 40 ЗПС = № 40 ЗПС
Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1) $\begin{cases} x+y+xy=7 \\ x^{2}+y^{2}+xy=13 \end{cases}$
2) $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=34 \\ x+y+xy=23 \end{cases}$
Розв’язок:
1) $\begin{cases} x+y+xy=7 \\ x^{2}+y^{2}+xy=13 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y+xy=7 \\ (x+y)^{2}-2xy+xy=13 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=a \\ xy=b \end{cases}$
$\begin{cases} a+b=7 \\ a^{2}-b=13 \end{cases}$
$\begin{cases} b=7-a \\ a^{2}-7+a-13=0 \end{cases}$
$\begin{cases} b=7-a \\ a^{2}+a-20=0 \end{cases}$
$\begin{cases} b=7-a \\ a=-5\text{ або }a=4 \end{cases}$
Отже, маємо дві системи:
а) $\begin{cases} x+y=-5 \\ xy=12 \end{cases}$
$\begin{cases} y=-5-x \\-5x-x^{2}-12=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=-5-x \\ x^{2}+5x+12=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=-5-x \\ x \in \varnothing \end{cases}$
Розв’язків немає.
б) $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$
$\begin{cases} y=4-x \\ 4x-x^{2}-3=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=4-x \\ x^{2}-4x+3=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=4-x \\ x_{1}=1,x_{2}=3 \end{cases}$
Отже, система має два розв’язки: $(1;3)$, $(3;1)$.
Відповідь:
$(1;3)$, $(3;1)$.
2) $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=34 \\ x+y+xy=23 \end{cases}$
$\begin{cases} (x+y)^{2}-2xy=34 \\ x+y+xy=23 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=a \\ xy=b \end{cases}$
$\begin{cases} a^{2}-2b=34 \\ a+b=23 \end{cases}$
$\begin{cases} (23-b)^{2}-2b=34 \\ a=23-b \end{cases}$
$\begin{cases} 529-46b+b^{2}-2b-34=0 \\ a=23-b \end{cases}$
$\begin{cases} b^{2}-48b+495=0 \\ a=23-b \end{cases}$
$\begin{cases} b=33\text{ або }b=15 \\ a=23-b \end{cases}$
Отже, маємо дві системи:
$\begin{cases} b=33 \\ a=-10 \end{cases}$, $\begin{cases} b=15 \\ a=8 \end{cases}$
а) $\begin{cases} x+y=-10 \\ xy=33 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y-10 \\-y^{2}-10y-33=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y-10 \\ y^{2}+10y+33=0 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y-10 \\ y \in \varnothing \end{cases}$
Розв’язків немає.
б) $\begin{cases} x+y=8 \\ xy=15 \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ 8x-x^{2}-15=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ x^{2}-8x+15=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y=8-x \\ x=5,x=3 \end{cases}$
Отже, система має два розв’язки: $(5;3)$, $(3;5)$.
Відповідь:
$(5;3)$, $(3;5)$.