№ 5 ЗПС = № 5 ЗПС
Доведіть, що, коли $a\geq0$, $b\geq0$, $c\geq0$, $d\geq0$, справджується нерівність $\sqrt{(a+c)(b+d)}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$.
Розв’язок:
Розглянемо різницю квадратів лівої та правої частин:
$(\sqrt{(a+c)(b+d)})^{2}-(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^{2}=$
$=(a+c)(b+d)-(ab+2\sqrt{abcd}+cd)=$
$=ab+ad+cb+cd-ab-2\sqrt{abcd}-cd=$
$=ad+cb-2\sqrt{abcd}=$
$=(\sqrt{ad})^{2}-2\sqrt{ad\cdot bc}+(\sqrt{bc})^{2}=$
$=(\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^{2}$
Оскільки $(\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^{2}\geq0$ для будь-яких невід’ємних $a,b,c,d$, то:
$(\sqrt{(a+c)(b+d)})^{2}\geq(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^{2}$
Оскільки обидві частини нерівності невід’ємні, то:
$\sqrt{(a+c)(b+d)}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$
що й треба було довести.