№ 41 ЗПС = № 41 ЗПС
Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\begin{cases} \frac{3}{x^{2}+y^{2}-1}+\frac{2y}{x}=1 \\ x^{2}+y^{2}+\frac{4x}{y}=22 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+2xy=\frac{21}{5} \\ \frac{1}{2xy}+x^{2}+y^{2}=\frac{21}{4} \end{cases}$
Розв’язок:
1)
$\begin{cases} \frac{3}{x^{2}+y^{2}-1}+\frac{2y}{x}=1 \\ x^{2}+y^{2}+\frac{4x}{y}=22 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=a \\ \frac{x}{y}=b \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{3}{a-1}+\frac{2}{b}=1 \\ a+4b=22 \end{cases}$
$\begin{cases} 3b+2a-2=ab-b \\ a+4b=22 \end{cases}\ ,a\neq1,b\neq0$
$\begin{cases} 4b+2a-2-ab=0 \\ a=22-4b \end{cases}$
$4b+44-8b-2-b(22-4b)=0$
$4b^{2}-26b+42=0$
$\begin{cases} 2b^{2}-13b+21=0 \\ a=22-4b \end{cases}$
$\begin{cases} b=3,b=3{,}5 \\ a=22-4b \end{cases}$
Отже, маємо дві системи:
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=10 \\ \frac{x}{y}=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=8 \\ \frac{x}{y}=3{,}5 \end{cases}$
а)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=10 \\ x=3y \end{cases}$
$\begin{cases} 9y^{2}+y^{2}=10 \\ x=3y \end{cases}$
$\begin{cases} 10y^{2}=10 \\ x=3y \end{cases}$
$\begin{cases} y^{2}=1 \\ x=3y \end{cases}$
$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$
або
$\begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$
б)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=8 \\ \frac{x}{y}=3{,}5 \end{cases}$
$\begin{cases} 12{,}25y^{2}+y^{2}=8 \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} 13{,}25y^{2}=8 \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm\sqrt{\frac{8}{13{,}25}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm\sqrt{\frac{8}{13\frac{1}{4}}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm\sqrt{8\ :\frac{53}{4}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm\sqrt{8\cdot\frac{4}{53}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm4\sqrt{\frac{2}{53}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm4\sqrt{\frac{106}{53\cdot53}} \\ x=3{,}5y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\pm4\frac{\sqrt{106}}{53} \\ x=\frac{7}{2}y \end{cases}$
$\begin{cases} y=\frac{7}{2}\cdot\frac{4\sqrt{106}}{53}=\frac{14\sqrt{106}}{53} \\ y=\frac{4\sqrt{106}}{53} \end{cases}$
або
$\begin{cases} x=-\frac{14\sqrt{106}}{53} \\ y=-\frac{4\sqrt{106}}{53} \end{cases}$
Відповідь:
$(3;1)$, $(-2;-1)$, $(1;2)$, $(-1;-2)$, $(\frac{14\sqrt{106}}{53};\frac{4\sqrt{106}}{53})$, $(-\frac{14\sqrt{106}}{53};-\frac{4\sqrt{106}}{53})$
2)
$\begin{cases} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+2xy=\frac{21}{5} \\ \frac{1}{2xy}+x^{2}+y^{2}=\frac{21}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=a \\ 2xy=b \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{1}{a}+b=\frac{21}{5} \\ \frac{1}{b}+a=\frac{21}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} b=\frac{21}{5}-\frac{1}{a} \\ \frac{1}{b}+a=\frac{21}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} b=\frac{21a-5}{5a} \\ \frac{5a}{21a-5}+a=\frac{21}{4} \end{cases}$
$(20a+a(21a-5))\cdot4=21(21a-5),a\neq\frac{5}{21}$
$\begin{cases} b=\frac{21a-5}{5a} \\ 84a^{2}=441a-105 \end{cases}$
$\begin{cases} b=\frac{21a-5}{5a} \\ 84a^{2}-441a+105=0 \end{cases}$
$\begin{cases} b=\frac{21a-5}{5a} \\ 4a^{2}-21a+5=0 \end{cases}$
$\begin{cases} b=\frac{21a-5}{5a} \\ a=5,a=\frac{1}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} a=5 \\ b=4 \end{cases}$
або
$\begin{cases} a=\frac{1}{4} \\ b=\frac{1}{5} \end{cases}$
а)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} \\ 2xy=\frac{1}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} \\ xy=\frac{1}{10} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{10x} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+\frac{1}{100x^{2}}=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{10x} \end{cases}$
$\begin{cases} 100x^{4}+1-25x^{2}=0 \\ y=\frac{1}{10x} \end{cases}$
$\begin{cases} 100x^{4}-25x^{2}+1=0 \\ y=\frac{1}{10x} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}=\frac{1}{5},x^{2}=\frac{1}{20} \\ y=\frac{1}{10x} \end{cases}$
Тоді маємо чотири розв’язки:
$\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ y=\frac{\sqrt{5}}{10} \end{cases}$
$\begin{cases} x=-\frac{1}{\sqrt{5}} \\ y=-\frac{\sqrt{5}}{10} \end{cases}$
$\begin{cases} x=\frac{1}{2\sqrt{5}} \\ y=\frac{\sqrt{5}}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x=-\frac{1}{2\sqrt{5}} \\ y=-\frac{\sqrt{5}}{5} \end{cases}$
б)
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=5 \\ 2xy=4 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=5 \\ xy=2 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-5=0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{4}-5x^{2}-5=0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}=4,x^{2}=1 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$
Тоді маємо чотири розв’язки:
$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-2 \\ y=-1 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases}$
Відповідь:
$(2;1)$, $(-2;-1)$, $(1;2)$, $(-1;-2)$, $(\frac{1}{\sqrt{5}};\frac{\sqrt{5}}{10})$, $(-\frac{1}{\sqrt{5}};-\frac{\sqrt{5}}{10})$, $(\frac{1}{2\sqrt{5}};\frac{\sqrt{5}}{5})$, $(-\frac{1}{2\sqrt{5}};-\frac{\sqrt{5}}{5})$