№ 42 ЗПС = № 42 ЗПС
За допомогою заміни $y=mx$ розв’яжіть системи рівнянь, ліві частини яких є однорідними многочленами, тобто многочленами, всі доданки яких одного і того самого степеня:
1) $\begin{cases} x^{2}+2y^{2}=17 \\ x^{2}-2xy=-3 \end{cases}$
2) $\begin{cases} 2x^{2}-3xy+y^{2}=3 \\ x^{2}+2xy-2y^{2}=6 \end{cases}$
Розв’язок:
1) $\begin{cases} x^{2}+2y^{2}=17 \\ x^{2}-2xy=-3 \end{cases}$
Якщо $x=0$, то з другого рівняння $0=-3$ — неможливо. Отже, $x\neq0$.
Нехай $y=mx$, тоді:
$\begin{cases} x^{2}+2m^{2}x^{2}=17 \\ x^{2}-2mx^{2}=-3 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}(1+2m^{2})=17 \\ x^{2}(1-2m)=-3 \end{cases}$
$\frac{1+2m^{2}}{1-2m}=-\frac{17}{3}$
$3+6m^{2}=-17+34m$
$6m^{2}-34m+20=0$
$3m^{2}-17m+10=0$
$m=5$, $m=\frac{2}{3}$
Якщо $m=5$, то $x^{2}(1-10)=-3$,
звідки $x^{2}=\frac{1}{3}$, $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тоді $y=5x=\pm\frac{5\sqrt{3}}{3}$.
Якщо $m=\frac{2}{3}$, то $x^{2}\left( 1-\frac{4}{3} \right)=-3$,
звідки $x^{2}=9$, $x=\pm3$.
Тоді $y=\frac{2}{3}x=\pm2$.
Отже, розв’язки системи: $(3;2)$, $(-3;-2)$, $\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$.
2) $\begin{cases} 2x^{2}-3xy+y^{2}=3 \\ x^{2}+2xy-2y^{2}=6 \end{cases}$
Якщо $x=0$, то $-2y^{2}=6$ (з другого рівняння) — неможливо. Отже, $x\neq0$.
Нехай $y=mx$, тоді:
$\begin{cases} x^{2}\left( 2-3m+m^{2} \right)=3 \\ x^{2}\left( 1+2m-2m^{2} \right)=6 \end{cases}$
Поділимо перше рівняння на друге:
$\frac{2-3m+m^{2}}{1+2m-2m^{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$2\left( 2-3m+m^{2} \right)=1+2m-2m^{2}$
$4-6m+2m^{2}=1+2m-2m^{2}$
$4m^{2}-8m+3=0$
$D=64-48=16$
$m_{1}=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}$
$m_{2}=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$
Якщо $m=\frac{1}{2}$, то $x^{2}\left( 2-\frac{3}{2}+\frac{1}{4} \right)=3$,
звідки $\frac{3}{4}x^{2}=3$, $x^{2}=4$, $x=\pm2$.
Тоді $y=\frac{1}{2}x=\pm1$.
Якщо $m=\frac{3}{2}$, то $x^{2}\left( 2-\frac{9}{2}+\frac{9}{4} \right)=3$,
звідки $-\frac{1}{4}x^{2}=3$, $x^{2}=-12$.
У цьому випадку розв’язків немає.
Відповідь:
1) $(3;2)$, $(-3;-2)$, $\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{5\sqrt{3}}{3} \right)$;
2) $(2;1)$, $(-2;-1)$.