№ 42 ЗПС = № 42 ЗПС
За допомогою заміни $y=mx$ розв’яжіть системи рівнянь, ліві частини яких є однорідними многочленами, тобто многочленами, всі доданки яких одного і того самого ступеня:
1) $\begin{cases} x^{2}+2y^{2}=17 \\ x^{2}-2xy=-3 \end{cases}$
2) $\begin{cases} 2x^{2}-3xy+y^{2}=3 \\ 2x^{2}+2xy-2y^{2}=6 \end{cases}$
Розв’язок:
1) $\begin{cases} x^{2}+2y^{2}=17 \\ x^{2}-2xy=-3 \end{cases}$
Нехай $y=mx$, тоді:
$\begin{cases} x^{2}+2m^{2}x^{2}=17 \\ x^{2}-2mx^{2}=-3 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}(1+2m^{2})=17 \\ x^{2}(1-2m)=-3 \end{cases}$
$\frac{1+2m^{2}}{1-2m}=-\frac{17}{3}$
$3+6m^{2}=-17+34m$
$6m^{2}-34m+20=0$
$3m^{2}-17m+10=0$
$m=5$, $m=\frac{2}{3}$
Якщо $m=5$, то $x^{2}(1-10)=-3$, звідки $-9x^{2}=-3$, $x^{2}=\frac{1}{3}$, $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ або $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Тоді $y=5x$, отже $y=\frac{5}{\sqrt{3}}$ або $y=-\frac{5}{\sqrt{3}}$.
Якщо $m=\frac{2}{3}$, то $x^{2}(1-\frac{4}{3})=-3$, звідки $-\frac{1}{3}x^{2}=-3$, $x^{2}=9$, $x=3$ або $x=-3$.
Тоді $y=\frac{2}{3}x$, отже $y=2$ або $y=-2$.
Відповідь:
$(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{5}{\sqrt{3}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{5}{\sqrt{3}})$, $(3;2)$, $(-3;-2)$.
2) $\begin{cases} 2x^{2}-3xy+y^{2}=3 \\ 2x^{2}+2xy-2y^{2}=6 \end{cases}$
Нехай $y=mx$, тоді:
$\begin{cases} x^{2}(2-3m+m^{2})=3 \\ x^{2}(2+2m-2m^{2})=6 \end{cases}$
Поділимо рівняння:
$\frac{2-3m+m^{2}}{2+2m-2m^{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$2\left( 2-3m+m^{2} \right)=$
$=2+2m-2m^{2}$
$4-6m+2m^{2}=$
$=2+2m-2m^{2}$
$4m^{2}-8m+2=0$
$2m^{2}-4m+1=0$
$m=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{4}=$
$=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$
Беремо $m=\frac{1}{2}$ (одне з можливих значень, що дає раціональний розв’язок):
Якщо $m=\frac{1}{2}$, то $x^{2}\cdot\left( 2-\frac{3}{2}+\frac{1}{4} \right)=3 \Rightarrow x^{2}\cdot\frac{3}{4}=$
$=3 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=\pm2$.
Тоді $y=\frac{1}{2}x$, отже $(x;\, y)=(2;\, 1)$ або $(-2;\,-1)$.
Відповідь:
$(2;1)$, $(-2;-1)$.