№ 43 ЗПС = № 43 ЗПС
Дві точки рухаються по колу. Одна з них здійснює повний оберт на 5 с швидше, ніж друга, і тому встигає зробити за 1 хв на два оберти більше. Скільки обертів за хвилину здійснює кожна з точок?
Розв’язок:
Нехай перша точка робить $x$ обертів за хвилину, а друга — $y$ обертів.
За 1 хв маємо систему:
$\begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{5}{60} \\ y-x=2 \end{cases}$
Спростимо перше рівняння ($\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$):
$\begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ y=2+x \end{cases}$
Підставимо $y=2+x$ у перше рівняння:
$\frac{1}{x}-\frac{1}{2+x}=\frac{1}{12}$
$\frac{2+x-x}{x(x+2)}=\frac{1}{12}$
$\frac{2}{x^{2}+2x}=\frac{1}{12}$
$x^{2}+2x=24$
$x^{2}+2x-24=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}=-6,x_{2}=4$
Оскільки $x$ — кількість обертів, $x>0$, тому $x=4$.
Тоді $y=2+4=6$.
Відповідь:
$4$ і $6$.