№ 43 ЗПС = № 43 ЗПС
Дві точки рухаються по колу. Одна з них здійснює повний оберт на 5 с швидше, ніж друга, і тому встигає зробити за 1 хв на два оберти більше. Скільки обертів за хвилину здійснює кожна з точок?
Розв’язок:
Нехай перша точка (яка здійснює повний оберт швидше) робить $x$ обертів за хвилину, а друга — $y$ обертів за хвилину. Тоді повний оберт перша точка здійснює за $\frac{60}{x}$ с, а друга — за $\frac{60}{y}$ с.
За умовою друга точка витрачає на оберт на 5 с більше, а перша робить за хвилину на два оберти більше. Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} \frac{60}{y}-\frac{60}{x}=5 \\ x-y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{12}{y}-\frac{12}{x}=1 \\ x=y+2 \end{cases}$
Підставимо $x=y+2$ у перше рівняння:
$\frac{12}{y}-\frac{12}{y+2}=1$
Помножимо обидві частини на $y(y+2)$:
$12(y+2)-12y=y(y+2)$
$24=y^{2}+2y$
$y^{2}+2y-24=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
$y_{1}=-6,\quad y_{2}=4.$
Оскільки $y>0$, то $y=4$, тоді $x=6$.
Отже, перша точка здійснює 6 обертів за хвилину, а друга — 4 оберти.
Відповідь:
6 і 4.