№ 44 ЗПС = № 44 ЗПС
Дорога від пункту $A$ до пункту $B$ спочатку йде вгору, а потім спускається вниз (мал. 1). Туристи піднімаються зі швидкістю на $1$ км/год меншою, ніж спускаються. На шляху від $A$ до $B$ вони витрачають $4$ год, а на зворотний — $4$ год $10$ хв. З якою швидкістю туристи піднімаються вгору і з якою — спускаються, якщо довжина цього шляху від $A$ до $B$ дорівнює $14$ км?
[МАЛЮНОК: схема дороги між пунктами А та В з позначенням підйому та спуску]
Розв’язок:
Нехай $x$ км/год — швидкість підйому, тоді $x+1$ км/год — швидкість спуску. Нехай $y$ км — довжина підйому, тоді $14-y$ км — довжина спуску.
| $v$ (км/год) | $s$ (км) | $t$ (год) | |
|---|---|---|---|
| Підйом (А→В) |
$x$ | $y$ | $\frac{y}{x}$ |
| Спуск (А→В) |
$x+1$ | $14-y$ | $\frac{14-y}{x+1}$ |
На шлях від $A$ до $B$ витрачено $4$ год:
$\frac{y}{x}+\frac{14-y}{x+1}=4$
На зворотний шлях (від $B$ до $A$): підйом стає спуском, а спуск — підйомом.
| $v$ (км/год) | $s$ (км) | $t$ (год) | |
|---|---|---|---|
| Підйом (В→А) |
$x$ | $14-y$ | $\frac{14-y}{x}$ |
| Спуск (В→А) |
$x+1$ | $y$ | $\frac{y}{x+1}$ |
На зворотний шлях витрачено $4$ год $10$ хв = $4\frac{1}{6}$ год:
$\frac{14-y}{x}+\frac{y}{x+1}=4\frac{1}{6}$
Складемо систему рівнянь:
$\begin{cases} \frac{y}{x}+\frac{14-y}{x+1}=4 \\ \frac{14-y}{x}+\frac{y}{x+1}=\frac{25}{6} \end{cases}$
Після зведення до спільного знаменника та спрощення:
$\begin{cases} y(x+1)+x(14-y)=4x(x+1) \\ (14-y)(x+1)+xy=\frac{25}{6}x(x+1) \end{cases}$
$\begin{cases} y+14x=4(x^{2}+x) \\ 14x+14-y=\frac{25}{6}(x^{2}+x) \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$14x+14+14x=4(x^{2}+x)+\frac{25}{6}(x^{2}+x)$
$28x+14=\frac{49}{6}(x^{2}+x)$
$168x+84=49x^{2}+49x$
$49x^{2}-119x-84=0$
Поділимо на $7$:
$7x^{2}-17x-12=0$
Дискримінант $D=(-17)^{2}-4\cdot7\cdot(-12)=$
$=289+336=625=25^{2}$.
$x_{1}=\frac{17+25}{14}=\frac{42}{14}=3$
$x_{2}=\frac{17-25}{14}=-\frac{8}{14}=-\frac{4}{7}$
Оскільки швидкість $x>0$, то $x=3$ км/год.
Швидкість спуску: $x+1=3+1=4$ км/год.
Відповідь:
$3$ км/год, $4$ км/год.