№ 46 ЗПС = № 46 ЗПС
З одного місця старту в одному напрямку вирушили одночасно два мотоциклісти: один зі швидкістю $80$ км/год, а другий — $60$ км/год. Через пів години з того самого місця і в тому самому напрямку вирушив автомобіль, який наздогнав першого мотоцикліста через $1$ год $15$ хв після того, як наздогнав другого. Визначте швидкість автомобіля.
Розв’язок:
| $v$ | $t$ | $s$ | |
|---|---|---|---|
| I мотоцикліст | $80$ км/год | $y$ год | $80y$ |
| II мотоцикліст | $60$ км/год | $y-1\frac{1}{4}$ | $60(y-1\frac{1}{4})$ |
| Автомобіль | $x$ км/год | $y-\frac{1}{2}$ | $x(y-\frac{1}{2})$ |
$\begin{cases} 80y=x(y-\frac{1}{2}), \\ 60(y-1\frac{1}{4})=x(y-1\frac{1}{4}-\frac{1}{2}); \end{cases}$
$\begin{cases} 80y=xy-\frac{1}{2}x, \\ 60y-75=xy-\frac{5}{4}x-\frac{1}{2}x; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y=2xy-x, \\ 240y-300=4xy-5x-2x; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y+x=2xy, \\ 240y+7x=4xy+300; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y+x=2xy, \\ 240y+7x=2(160y+x)+300; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y+x=2xy, \\ 240y+7x=320y+2x+300; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y+x=2xy, \\ 5x=80y+300; \end{cases}$
$\begin{cases} 160y+x=2xy, \\ x=16y+60; \end{cases}$
$160y+16y+60=2y(16y+60);$
$160y+16y+60=32y^{2}+120y;$
$32y^{2}-56y-60=0;$
$8y^{2}-14y-15=0;$
$y=\frac{5}{2}$
або $y=-\frac{3}{4}$ — умову задачі не задовольняє.
Отже, $y=\frac{5}{2}$, тоді $80\cdot\frac{5}{2}=x\cdot(\frac{5}{2}-\frac{1}{2})$;
$200=2x;$
$x=100.$
Отже, швидкість автомобіля — $100$ км/год.
Відповідь:
$100$ км/год.