№ 47 ЗПС = № 47 ЗПС
Дві автівки вирушили одночасно з міст $A$ і $B$ назустріч одна одній і після зустрічі продовжили рух у тому самому напрямку. Швидкість однієї автівки була на $30$ км/год більшою за швидкість другої, тому вона прибула в пункт $B$ через $2$ год після зустрічі. Друга автівка прибула в пункт $A$ через $4{,}5$ год після зустрічі. Знайдіть швидкість кожної автівки.
Розв’язок:
Нехай $(x+30)$ км/год — швидкість першої автівки, яка прибула в пункт $B$, а $x$ км/год — швидкість другої. Отже, перша автівка виїхала з міста $A$, а друга — з міста $B$. Нехай до зустрічі автівки були в дорозі $t$ год.
Шлях від місця зустрічі до пункту $B$ друга автівка проїхала до зустрічі, а перша — за 2 год після зустрічі:
$xt=(x+30)\cdot2.$
Шлях від пункту $A$ до місця зустрічі перша автівка проїхала до зустрічі, а друга — за 4,5 год після зустрічі:
$(x+30)t=x\cdot4{,}5.$
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} xt=(x+30)\cdot2 \\ (x+30)t=x\cdot4{,}5 \end{cases}$
$\begin{cases} xt=2x+60 \\ xt+30t=4{,}5x \end{cases}$
Підставимо $xt=2x+60$ у друге рівняння:
$2x+60+30t=4{,}5x$
$30t=2{,}5x-60$
$t=\frac{2{,}5x-60}{30}=\frac{x-24}{12}$
Підставимо вираз для $t$ у перше рівняння:
$x\cdot\frac{x-24}{12}=2x+60$
$x^{2}-24x=24x+720$
$x^{2}-48x-720=0$
Розв’яжемо квадратне рівняння:
$D=(-48)^{2}-4\cdot1\cdot(-720)=$
$=2304+2880=5184=72^{2}$
$x_{1}=\frac{48+72}{2}=60$
$x_{2}=\frac{48-72}{2}=-12$ (не задовольняє умову)
Отже, швидкість другої автівки $x=60$ км/год, а першої — $60+30=90$ км/год.
Відповідь:
90 км/год, 60 км/год.