№ 48 ЗПС = № 48 ЗПС
Два пішоходи вийшли одночасно назустріч один одному: перший із пункту $A$, другий — із пункту $B$. Перший пішохід до зустрічі пройшов на $1$ км більше за другого. Через $45$ хв після зустрічі перший пішохід прийшов у пункт $B$. Другий пішохід прибув у пункт $A$ через $1$ год $20$ хв після зустрічі. Знайдіть відстань від $A$ до $B$.
Розв’язок:
Нехай швидкість першого пішохода, що вийшов із $A$, дорівнює $x$ км/год, а швидкість другого — $y$ км/год. Після зустрічі перший пройшов $\frac{3}{4}x$ км (за $45$ хв $=\frac{3}{4}$ год), а другий — $\frac{4}{3}y$ км (за $1$ год $20$ хв $=\frac{4}{3}$ год).
Оскільки до зустрічі перший пройшов відстань, яку другий пройде ПІСЛЯ зустрічі, а другий — ту, яку перший пройде після, маємо:
- відстань від $A$ до точки зустрічі: $\frac{4}{3}y$ км (її пройшов перший до зустрічі і другий — після);
- відстань від $B$ до точки зустрічі: $\frac{3}{4}x$ км (її пройшов другий до зустрічі і перший — після).
За умовою перший пройшов до зустрічі на $1$ км більше:
$\frac{4}{3}y-\frac{3}{4}x=1$
Оскільки час до зустрічі для обох однаковий ($t=$ відстань/швидкість), отримуємо ще одне рівняння:
$\frac{\frac{4}{3}y}{x}=\frac{\frac{3}{4}x}{y}$
Маємо систему:
$\begin{cases} \frac{4}{3}y-\frac{3}{4}x=1 \\ \frac{\frac{4}{3}y}{x}=\frac{\frac{3}{4}x}{y} \end{cases}$
Перетворимо обидва рівняння — перше домножимо на $12$, друге — на $xy$:
$\begin{cases} 16y-9x=12 \\ \frac{4}{3}y^{2}=\frac{3}{4}x^{2} \end{cases}$
З другого рівняння: $16y^{2}=9x^{2}$, звідки (бо $x,y>0$) $4y=3x$.
Підставимо $9x=12y$ у перше рівняння: $16y-12y=12$, тобто $4y=12$, отже $y=3$, $x=4$.
Відстань від $A$ до $B$ — це сума двох відрізків:
$AB=\frac{4}{3}y+\frac{3}{4}x=$
$=\frac{4}{3}\cdot3+\frac{3}{4}\cdot4=4+3=7\text{ км.}$
Відповідь:
$7$ км.