№ 48 ЗПС = № 48 ЗПС
Два пішоходи вийшли одночасно назустріч один одному: перший із пункту $A$, другий — із пункту $B$. Перший пішохід до зустрічі пройшов на $1$ км більше за другого. Через $45$ хв після зустрічі перший пішохід прийшов у пункт $B$. Другий пішохід прибув у пункт $A$ через $1$ год $20$ хв після зустрічі. Знайдіть відстань від $A$ до $B$.
Розв’язок:
Нехай $x$ км/год — швидкість першого пішохода, $y$ км/год — швидкість другого.
Після зустрічі перший пішохід ішов до пункту $B$ 45 хв, тобто $\frac{3}{4}$ год, і пройшов $\frac{3}{4}x$ км. Другий пішохід після зустрічі йшов до пункту $A$ 1 год 20 хв, тобто $\frac{4}{3}$ год, і пройшов $\frac{4}{3}y$ км.
Шлях від $A$ до місця зустрічі перший пішохід пройшов до зустрічі, а другий — після неї, тому він дорівнює $\frac{4}{3}y$ км. Так само шлях від $B$ до місця зустрічі дорівнює $\frac{3}{4}x$ км.
До зустрічі перший пішохід пройшов на 1 км більше, ніж другий:
$\frac{4}{3}y-\frac{3}{4}x=1$
До зустрічі пішоходи були в дорозі однаковий час:
$\frac{4y}{3x}=\frac{3x}{4y}$
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} \frac{4}{3}y-\frac{3}{4}x=1 \\ \frac{4y}{3x}=\frac{3x}{4y} \end{cases}$
Помножимо перше рівняння на 12, а друге — на $12xy$:
$\begin{cases} 16y-9x=12 \\ 16y^{2}=9x^{2} \end{cases}$
З другого рівняння ($x>0$, $y>0$):
$4y=3x,\quad 9x=12y.$
Підставимо $9x=12y$ у перше рівняння:
$16y-12y=12;\quad y=3.$
Тоді $x=\frac{4y}{3}=4$.
Відстань від $A$ до $B$:
$\frac{4}{3}y+\frac{3}{4}x=\frac{4}{3}\cdot3+\frac{3}{4}\cdot4=$
$=4+3=7\text{ (км)}.$
Відповідь:
$7$ км.