№ 6 ЗПС = № 6 ЗПС
Доведіть, що:
1) $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}<3$;
2) $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}<2$.
Розв’язок:
1) Нехай
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\ldots}}}}=t$
тоді
$\left( \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\ldots}}}} \right)^{2}=t^{2}$
$6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\ldots}}}=t^{2}$
$6+t=t^{2}$
$t^{2}-t-6=0$
$t_{1}=3,t_{2}=-2$
Оскільки $t>0$, то $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}=3$.
Оскільки $\sqrt{6+\ldots}<3$, то $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}<3$.
2) Нехай
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}}=t$
тоді
$\left( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}} \right)^{2}=t^{2}$
$\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}=t^{2}$
$2+t=t^{2}$
$t^{2}-t-2=0$
$t_{1}=-1,t_{2}=2$
Оскільки $t>0$, то $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}}=2$.
Оскільки
$\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}<\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}}=2$
то $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}<2$.