№ 6 ЗПС = № 6 ЗПС
Доведіть, що:
1) $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}<3$;
2) $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}<2$.
Розв’язок:
1) Замінимо останнє число 6 у лівій частині нерівності на 9. Оскільки $6<9$, то
$\sqrt{6}<\sqrt{9},$
$6+\sqrt{6}<6+\sqrt{9},$
$\sqrt{6+\sqrt{6}}<\sqrt{6+\sqrt{9}}$
і так далі: більшому невід’ємному числу відповідає більший квадратний корінь. Тому від такої заміни ліва частина збільшиться:
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}}<$
$<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}}=$
$=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{6+3}}}}=$
$=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots+\sqrt{9}}}}=\ldots=$
$=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3,$
що й треба було довести.
2) Аналогічно замінимо останнє число 2 у лівій частині нерівності на 4. Оскільки $\sqrt{2}<\sqrt{4}$, то від такої заміни ліва частина збільшиться:
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}<$
$<\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{4}}}}}=$
$=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+2}}}}=$
$=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{4}}}}=\ldots=$
$=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2,$
що й треба було довести.