№ 52 ЗПС = № 52 ЗПС
О 17 год зі свого будинку до стадіону на велосипеді виїхав уболівальник Сергій, який рухався із запланованою швидкістю і розраховував приїхати на футбольний матч о 18 год 30 хв, за пів години до його початку. О 17 год 20 хв брат Сергія Петро побачив, що Сергій забув квиток, і зателефонував йому на мобільний. Тоді Сергій миттєво розвернув велосипед і, збільшивши швидкість на 3 км/год, поїхав додому, а Петро зі швидкістю 5 км/год вийшов назустріч Сергію. Під час зустрічі Петро віддав Сергію квиток, і той з тією самою швидкістю вирушив на стадіон. У результаті Сергій приїхав на стадіон за 20 хв до початку матчу. Яка відстань від будинку Сергія до стадіону і з якою швидкістю він планував рухатися?
Розв’язок:
Нехай $x$ км/год — запланована Сергієм швидкість, $y$ км — відстань від дому до стадіону. Тоді маємо систему:
$\begin{cases} y=1{,}5x \\ \frac{1}{3}+\frac{x}{3(x+8)}+\frac{y-\frac{5x}{3(x+8)}}{x+3}=1\frac{2}{3} \end{cases}$
Спростимо друге рівняння:
$\frac{1}{3}+\frac{x}{3(x+8)}+\frac{y}{x+3}-\frac{5x}{3(x+8)(x+3)}=\frac{5}{3}$
Підставимо $y=1{,}5x$:
$\frac{x+8+x}{3(x+8)}+\frac{1{,}5x}{x+3}-\frac{5x}{3(x+8)(x+3)}=\frac{5}{3}$
$\frac{2x+8}{3(x+8)}+\frac{1{,}5x}{x+3}-\frac{5x}{3(x+8)(x+3)}=\frac{5}{3}$
Зведемо до спільного знаменника $3(x+8)(x+3)$:
$(2x+8)(x+3)+4{,}5x(x+8)-5x=$
$=5(x+8)(x+3)$
$2x^{2}+6x+8x+24+4{,}5x^{2}+36x-5x=$
$=5(x^{2}+11x+24)$
$6{,}5x^{2}+45x+24=$
$=5x^{2}+55x+120$
$1{,}5x^{2}-10x-96=0$
Помножимо на 2:
$3x^{2}-20x-192=0$
Дискримінант $D=(-20)^{2}-4\cdot3\cdot(-192)=$
$=400+2304=2704=52^{2}$.
$x_{1}=\frac{20+52}{6}=\frac{72}{6}=12$
$x_{2}=\frac{20-52}{6}=-\frac{32}{6}=-5\frac{1}{3}$
Корінь $x=-5\frac{1}{3}$ не задовольняє умову задачі.
Якщо $x=12$, то $y=1{,}5\cdot12=18$.
Отже, Сергій планував рухатися зі швидкістю $12$ км/год, а відстань від будинку до стадіону становить $18$ км.
Відповідь:
$12$ км/год, $18$ км.