№ 53 ЗПС = № 53 ЗПС
Послідовність називають зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший за попередній. Які з послідовностей є зростаючими:
1) $a_{n}=5n-7$;
2) $b_{n}=3-4n$;
3) $c_{n}=(-1)^{n}$;
4) $x_{n}=\frac{6}{n}$;
5) $y_{n}=-\frac{8}{n}$;
6) $a_{n}=n^{2}+7n$;
7) $b_{n}=n^{3}$;
8) $c_{n}=n^{2}-8n$;
9) $x_{n}=(1-n)^{2}$?
Розв’язок:
1) $a_{n+1}=5(n+1)-7=$
$=5n+5-7=5n-2$.
Знайдемо різницю $a_{n+1}-a_{n}=$
$=5n-2-(5n-7)=$
$=5n-2-5n+7=5>0$, отже, послідовність зростаюча.
2) $b_{n+1}=3-4(n+1)=$
$=3-4n-4=-4n-1$;
$b_{n+1}-b_{n}=-4n-1-(3-4n)=$
$=-4n-1-3+4n=-4<0$, отже, послідовність не є зростаючою.
3) $c_{n+1}=(-1)^{n+1}$;
$c_{n+1}-c_{n}=(-1)^{n+1}-(-1)^{n}=$
$=(-1)^{n}\cdot((-1)-1)=$
$=(-1)^{n}\cdot0=0$, отже, послідовність не є зростаючою.
4) $x_{n+1}=\frac{6}{n+1}$;
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{6}{n+1}-\frac{6}{n}=$
$=\frac{6n-6n-6}{(n+1)\cdot n}=\frac{-6}{(n+1)\cdot n}<0$, отже, послідовність не є зростаючою.
5) $y_{n+1}=-\frac{8}{n+1}$;
$y_{n+1}-y_{n}=\frac{8}{n+1}+\frac{8}{n}=$
$=\frac{-8n+8n+8}{(n+1)\cdot n}=\frac{8}{(n+1)\cdot n}>0$, отже, послідовність зростаюча.
6) $a_{n+1}=(n+1)^{2}+7(n+1)=$
$=n^{2}+2n+1+7n+7=$
$=n^{2}+9n+8$;
$a_{n+1}-a_{n}=$
$=n^{2}+9n+8-\left( n^{2}+7n \right)=$
$=2n+8>0$, отже, послідовність зростаюча.
7) $b_{n+1}=(n+1)^{3}=$
$=n^{3}+3n^{2}+3n+1$;
$b_{n+1}-b_{n}=$
$=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n^{3}=$
$=3n^{2}+3n+1>0$, отже, послідовність зростаюча.
8) $c_{n+1}=(n+1)^{2}-8(n+1)=$
$=n^{2}+2n+1-8n-8=$
$=n^{2}-6n-7$;
$c_{n+1}-c_{n}=$
$=n^{2}-6n-7-\left( n^{2}-8n \right)=$
$=2n-7$.
При $n=1$: $2(1)-7=-5<0$; при $n=4$: $2(4)-7=1>0$. Знак виразу залежить від $n$, отже, послідовність не є зростаючою.
9) $x_{n+1}=(1-(n+1))^{2}=$
$=(1-n-1)^{2}=(-n)^{2}=n^{2}$;
$x_{n+1}-x_{n}=n^{2}-(1-n)^{2}=$
$=n^{2}-\left( 1-2n+n^{2} \right)=$
$=n^{2}-1+2n-n^{2}=2n-1$.
При $n\geq1$: $2n-1\geq1>0$, отже, послідовність зростаюча.
Відповідь:
Зростаючі: 1), 5), 6), 7), 9).