№ 54 ЗПС = № 54 ЗПС
Послідовність називають спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший від попереднього. Які з послідовностей є спадними:
1) $c_{n}=\frac{1}{2}n-8$;
2) $a_{n}=4-5n$;
3) $b_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2}$;
4) $x_{n}=\frac{10}{n}$;
5) $y_{n}=-\frac{1}{n}$;
6) $c_{n}=-n^{2}-n$;
7) $g_{n}=-(n+1)^{3}$;
8) $b_{n}=-2n^{2}+10n$;
9) $x_{n}=\frac{1}{n^{5}}$?
Розв’язок:
1) $c_{n+1}=\frac{1}{2}(n+1)-8=$
$=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}-8=\frac{1}{2}n-7\frac{1}{2}$;
$c_{n+1}-c_{n}=$
$=\frac{1}{2}n-7\frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}n-8 \right)=$
$=\frac{1}{2}>0$, отже, послідовність не є спадною.
2) $a_{n+1}=4-5(n+1)=$
$=4-5n-5=-5n-1$;
$a_{n+1}-a_{n}=$
$=-5n-1-(4-5n)=$
$=-5<0$, отже, послідовність спадна.
3) $b_{n+1}=\frac{(-1)^{n+2}}{2}$;
$b_{n+1}-b_{n}=\frac{(-1)^{n+2}}{2}-\frac{(-1)^{n+1}}{2}=$
$=\frac{(-1)^{n+1}(-1-1)}{2}=$
$=-(-1)^{n+1}=(-1)^{n+2}$ — знак залежить від $n$, отже, послідовність не є спадною.
4) $x_{n+1}=\frac{10}{n+1}$;
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{10}{n+1}-\frac{10}{n}=$
$=\frac{10n-10n-10}{n(n+1)}=\frac{-10}{n(n+1)}<0$, отже, послідовність спадна.
5) $y_{n+1}=-\frac{1}{n+1}$;
$y_{n+1}-y_{n}=$
$=-\frac{1}{n+1}-\left(-\frac{1}{n} \right)=\frac{-n+n+1}{n(n+1)}=$
$=\frac{1}{n(n+1)}>0$, отже, послідовність не є спадною.
6) $c_{n+1}=-(n+1)^{2}-(n+1)=$
$=-\left( n^{2}+2n+1 \right)-n-1=$
$=-n^{2}-3n-2$;
$c_{n+1}-c_{n}=$
$=-n^{2}-3n-2-\left(-n^{2}-n \right)=$
$=-2n-2=-2(n+1)<0$, отже, послідовність спадна.
7) $g_{n+1}=-(n+2)^{3}=$
$=-(n^{3}+6n^{2}+12n+8)$;
$g_{n+1}-g_{n}=-n^{3}-6n^{2}-12n-8-\left(-\left( n^{3}+3n^{2}+3n+1 \right) \right)=$
$=-3n^{2}-9n-7<0$, отже, послідовність спадна.
8) $b_{n+1}=$
$=-2(n+1)^{2}+10(n+1)=$
$=-2n^{2}-4n-2+10n+10=$
$=-2n^{2}+6n+8$;
$b_{n+1}-b_{n}=$
$=-2n^{2}+6n+8-\left(-2n^{2}+10n \right)=$
$=-4n+8=-4(n-2)$ — знак залежить від $n$, отже, послідовність не є спадною.
9) $x_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{5}}$;
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{(n+1)^{5}}-\frac{1}{n^{5}}<0$ (оскільки $n+1>n$, то $\frac{1}{(n+1)^{5}}<\frac{1}{n^{5}}$), отже, послідовність спадна.
Відповідь:
Спадні: 2), 4), 6), 7), 9).