№ 55 ЗПС = № 55 ЗПС
Знайдіть суму $n$ перших членів послідовності $(x_{n})$, якщо
$x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$
Розв’язок:
Представимо послідовність наступним чином:
$\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=$
$=\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Відповідь:
$\frac{n}{n+1}$