№ 55 ЗПС = № 55 ЗПС
Знайдіть суму $n$ перших членів послідовності $(x_{n})$, якщо
$x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$
Розв’язок:
Кожен член послідовності можна записати як різницю двох дробів:
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)},$
тобто $x_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. Тоді в сумі всі доданки, крім $1$ і $-\frac{1}{n+1}$, взаємно знищуються:
$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=$
$=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=$
$=\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\ldots+$
$+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=$
$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$
Відповідь:
$\frac{n}{n+1}$