№ 56 ЗПС = № 56 ЗПС
Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія з додатними членами. Доведіть, що сума $n$ перших членів послідовності $(x_{n})$, де
$x_{n}=\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
дорівнює
$\frac{n}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
Розв’язок:
Нехай $d$ — різниця прогресії. Тоді для будь-якого натурального $k$:
$a_{k+1}-a_{k}=d,$
$a_{n+1}=a_{1}+nd.$
Якщо $d=0$, то всі члени прогресії дорівнюють $a_{1}$, кожен член послідовності $\left( x_{n} \right)$ дорівнює $\frac{1}{2\sqrt{a_{1}}}$, а сума $n$ перших її членів:
$\frac{n}{2\sqrt{a_{1}}}=\frac{n}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n+1}}}.$
Нехай $d\neq0$. Звільнимося від ірраціональності в знаменнику:
$x_{k}=\frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=$
$=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{\left( \sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_{k}} \right)\left( \sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}} \right)}=$
$=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{a_{k+1}-a_{k}}=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{d}.$
Тоді сума $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$ дорівнює:
$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=$
$=\frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}}{d}+\frac{\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}}{d}+\ldots+$
$+\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{d}=$
$=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{1}}}{d}=$
$=\frac{\left( \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{1}} \right)\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}{d\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}=$
$=\frac{a_{n+1}-a_{1}}{d\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}=$
$=\frac{a_{1}+nd-a_{1}}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}})}=$
$=\frac{dn}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}})}=\frac{n}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
Що й треба було довести.