№ 56 ЗПС = № 56 ЗПС
Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія з додатними членами. Доведіть, що сума $n$ перших членів послідовності $(x_{n})$, де
$x_{n}=\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
дорівнює
$\frac{n}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
Розв’язок:
Нехай $a_{1}$, $a_{1}+d$, $a_{1}+2d$, $a_{1}+3d$, …, $a_{n}+(n-1)d$, $a_{1}+nd$ — члени арифметичної прогресії, тоді
$x_{n}=\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n+1}}}=$
=$\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}} \right)\left( \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}} \right)}=$
$=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{a_{n+1}-a_{n}}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{d}$
Тоді сума $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}$ дорівнює:
$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=\frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}}{d}+\frac{\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}}{d}+\ldots+\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{d}=$
$=\frac{\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}+\ldots+\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}}{d}=$
$=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{1}}}{d}=$
$=\frac{\left( \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{1}} \right)\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}{d\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}=$
$=\frac{a_{n+1}-a_{1}}{d\left( \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}} \right)}=$
$=\frac{a_{1}+nd-a_{1}}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}})}=$
$=\frac{dn}{d(\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{1}})}=\frac{n}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n+1}}}$
Що й треба було довести.