№ 57 ЗПС = № 57 ЗПС
Між числами $-19{,}88$ і $19{,}91$ вставлено $n$ таких чисел, що вони разом з даними утворюють арифметичну прогресію. За якого значення $n$ різниця цієї прогресії належить області визначення функції $y=\sqrt{-x^{2}+7|x|-12}$?
Розв’язок:
Послідовність має вигляд:
$-19{,}88$; $a_{2}$; $a_{3}$; $\ldots$; $a_{n+1}$; $19{,}91$.
Кількість членів прогресії дорівнює $n+2$.
Використаємо формулу $n$-го члена арифметичної прогресії:
$19{,}91=-19{,}88+d(n+2-1)$
$19{,}91=-19{,}88+d(n+1)$
$39{,}79=d(n+1)$
$d=\frac{39{,}79}{n+1}>0$
Знайдемо область визначення функції:
$-x^{2}+7|x|-12\geq0$
$x^{2}-7|x|+12\leq0$
Якщо $x\geq0$, то $x^{2}-7x+12\leq0$,
$(x-3)(x-4)\leq0$, отже, $x \in \lbrack 3;4\rbrack$.
Якщо $x\leq0$, то $x^{2}+7x+12\leq0$,
$(x+3)(x+4)\leq0$, отже, $x \in \lbrack-4;-3\rbrack$.
Різниця $d$ має належати області визначення, тобто $d \in \lbrack-4;-3\rbrack \cup \lbrack 3;4\rbrack$. Оскільки $d>0$, то $d \in \lbrack 3;4\rbrack$.
$3\leq\frac{39{,}79}{n+1}\leq4$
Розв’яжемо подвійну нерівність:
$3(n+1)\leq39{,}79$
$4(n+1)\geq39{,}79$
$n+1\leq\frac{39{,}79}{3}\approx13{,}26$
$n+1\geq\frac{39{,}79}{4}\approx9{,}95$
$n\leq12{,}26$
$n\geq8{,}95$
Оскільки $n$ — натуральне число, то
$n \in \{ 9;\ 10;\ 11;\ 12\}.$
Відповідь:
$9$; $10$; $11$; $12$.