№ 58 ЗПС = № 58 ЗПС
Доведіть, що коли $a,b,c$ — три послідовних члени арифметичної прогресії, то числа $a^{2}+ab+b^{2}$, $a^{2}+ac+c^{2}$ і $b^{2}+bc+c^{2}$ в зазначеному порядку також утворюють арифметичну прогресію.
Розв’язок:
Оскільки $a,b,c$ — послідовні члени арифметичної прогресії, то $b=a+d$, $c=a+2d$.
Знайдемо значення кожного виразу:
$a^{2}+ab+b^{2}=$
$=a^{2}+a(a+d)+(a+d)^{2}=$
$=a^{2}+a^{2}+ad+a^{2}+2ad+d^{2}=$
$=3a^{2}+3ad+d^{2}$
$a^{2}+ac+c^{2}=$
$=a^{2}+a(a+2d)+(a+2d)^{2}=$
$=a^{2}+a^{2}+2ad+a^{2}+4ad+4d^{2}=$
$=3a^{2}+6ad+4d^{2}$
$b^{2}+bc+c^{2}=$
$=(a+d)^{2}+(a+d)(a+2d)+$
$+(a+2d)^{2}=$
$=a^{2}+2ad+d^{2}+a^{2}+3ad+2d^{2}+$
$+a^{2}+4ad+4d^{2}=$
$=3a^{2}+9ad+7d^{2}$
Щоб числа утворювали арифметичну прогресію, різниця між сусідніми членами має бути сталою:
$\left( 3a^{2}+6ad+4d^{2} \right)-\left( 3a^{2}+3ad+d^{2} \right)=$
$=3ad+3d^{2};$
$\left( 3a^{2}+9ad+7d^{2} \right)-\left( 3a^{2}+6ad+4d^{2} \right)=$
$=3ad+3d^{2}.$
Оскільки різниці рівні, то числа утворюють арифметичну прогресію.
Що й треба було довести.