№ 59 ЗПС = № 59 ЗПС
Доведіть, що коли сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію, то її різниця дорівнює радіусу кола, вписаного в цей трикутник.
Розв’язок:
Нехай сторони прямокутного трикутника $a$, $a+d$, $a+2d$ (гіпотенуза).
За теоремою Піфагора:
$(a+2d)^{2}=(a+d)^{2}+a^{2}$
$a^{2}+4ad+4d^{2}=$
$=a^{2}+2ad+d^{2}+a^{2}$
$a^{2}-2ad-3d^{2}=0$
$3d^{2}+2ad-a^{2}=0$
Розв’яжемо рівняння відносно $d$:
$D=(2a)^{2}-4\cdot3\cdot(-a^{2})=$
$=4a^{2}+12a^{2}=16a^{2}$
$d_{1}=\frac{-2a+4a}{6}=\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}$
$d_{2}=\frac{-2a-4a}{6}=-a$
Значення $d_{2}=-a$ не задовольняє умову задачі, оскільки сторони трикутника мають бути додатними. Отже, $d=\frac{a}{3}$.
Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює:
$r=\frac{a+b+c-2c}{2}=$
$=\frac{a+b-c}{2}$
У нашому випадку сторони: $a$, $b=a+d$, $c=a+2d$.
$r=\frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2}=$
$=\frac{a+d-2d}{2}=\frac{a-d}{2}$
Підставимо $d=\frac{a}{3}$:
$r=\frac{a-\frac{a}{3}}{2}=\frac{\frac{2a}{3}}{2}=\frac{a}{3}$
Оскільки $d=\frac{a}{3}$ та $r=\frac{a}{3}$, то $r=d$.
Що й треба було довести.