№ 60 ЗПС = № 60 ЗПС
Нехай дано послідовність концентричних кіл (тобто кіл, що мають спільний центр) із центром у точці $A(-6;8)$ таких, що радіуси цих кіл $R_{n}$ утворюють арифметичну прогресію з першим членом $1{,}6$ і різницею $0{,}4$. Чи існує в цій послідовності коло, що проходить через початок координат? Якщо існує, то за який його номер?
Розв’язок:
Задамо рівняння кола з центром у точці $A(-6;8)$ і радіусом $R_{n}$:
$(x+6)^{2}+(y-8)^{2}=R_{n}^{2}$
Радіус $n$-го кола визначається формулою арифметичної прогресії:
$R_{n}=1{,}6+0{,}4(n-1)=$
$=1{,}6+0{,}4n-0{,}4=0{,}4n+1{,}2$
Якщо коло проходить через початок координат $(0;0)$, то координати цієї точки мають задовольняти рівняння кола:
$(0+6)^{2}+(0-8)^{2}=R_{n}^{2}$
$6^{2}+(-8)^{2}=R_{n}^{2}$
$36+64=R_{n}^{2}$
$R_{n}^{2}=100$
$R_{n}=10$
Підставимо значення $R_{n}$ у формулу прогресії:
$0{,}4n+1{,}2=10$
$0{,}4n=8{,}8$
$n=22$
Відповідь:
$n=22$.