№ 7 ЗПС = № 7 ЗПС
Доведіть нерівність:
$\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots\cdot\frac{120}{121}>\frac{1}{11}$
Розв’язок:
Нехай $x=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots\cdot\frac{120}{121}$
$y=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{117}{118}\cdot\frac{119}{120}$
Спочатку доведемо, що $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$. Дійсно,
$\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=$
$=\frac{n^{2}+2n-n^{2}-2n-1}{(n+1)(n+2)}=$
$=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0$
Отже, для будь-якого натурального числа $n$ справедлива нерівність $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$.
Так як $\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$, $\frac{5}{6}<\frac{6}{7}$, $\ldots$, $\frac{119}{120}<\frac{120}{121}$.
Перемноживши останні нерівності, отримаємо:
$y=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{119}{120}<\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots\cdot\frac{120}{121}=x$
Отже, $y<x$.
Помножимо обидві частини нерівності $x>y$ на $x$, маємо: $x^{2}>xy$.
$x^{2}>\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{119}{120}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots\cdot\frac{120}{121}=\frac{1}{121}$
Оскільки $x>0$ та $x^{2}>\frac{1}{121}$, то $x>\sqrt{\frac{1}{121}}$, тобто $x>\frac{1}{11}$.