№ 61 ЗПС = № 61 ЗПС
Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Відомо, що $a_{2m}+a_{2k}=0$. Доведіть, що $a_{m+k}=0$.
Розв’язок:
Використаємо формулу $n$-го члена арифметичної прогресії $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:
$a_{2m}+a_{2k}=0$, де
$a_{2m}=a_{1}+(2m-1)d$,
$a_{2k}=a_{1}+(2k-1)d$.
Підставимо ці вирази у рівняння:
$a_{1}+2md-d+a_{1}+2kd-d=0$
$2a_{1}+2md+2kd-2d=0$
Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$a_{1}+md+kd-d=0$
$a_{1}+(m+k-1)d=0$
Оскільки $a_{m+k}=a_{1}+(m+k-1)d$, то:
$a_{m+k}=0$, що й треба було довести.