№ 62 ЗПС = № 62 ЗПС
В арифметичній прогресії $S_{m}=S_{n}$, $m\neq n$. Доведіть, що $S_{m+n}=0$.
Розв’язок:
$S_{m}=\frac{a_{1}+a_{m}}{2}\cdot m$, $S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$.
Звідси $\frac{a_{1}+a_{m}}{2}\cdot m=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ або
$\left( 2a_{1}+d(m-1) \right)\cdot m=$
$=(2a_{1}+d(n-1))\cdot n$;
$2a_{1}(m-n)+d(m^{2}-m-n^{2}+n)=0$;
$2a_{1}(m-n)+d(m-n)(m+n-1)=0$;
$(m-n)\left( 2a_{1}+d(m+n-1) \right)=0$.
Оскільки $m\neq n$, то $2a_{1}+d(m+n-1)=0$.
Звідси, оскільки $a_{1}+d(m+n-1)=a_{m+n}$,
$a_{1}+a_{m+n}=0.$
Але $S_{m+n}=\frac{a_{1}+a_{m+n}}{2}\cdot(m+n)$;
$S_{m+n}=\frac{0}{2}(m+n)=0$.
Що й треба було довести.