№ 63 ЗПС = № 63 ЗПС
Відомо, що за будь-якого значення $n$ сума $n$ перших членів деякої числової послідовності обчислюється за формулою $S_{n}=2n^{2}+3n$. Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією, та знайдіть її різницю.
Розв’язок:
Оскільки $S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}$, то для будь-якого натурального $n$:
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}=$
$=2(n+1)^{2}+3(n+1)-2n^{2}-3n=$
$=2n^{2}+4n+2+3n+3-2n^{2}-3n=$
$=4n+5$
Отже, $a_{n+1}=4n+5$, тобто при $n\geq2$:
$a_{n}=4(n-1)+5=4n+1.$
Крім того,
$a_{1}=S_{1}=2\cdot1^{2}+3\cdot1=5=4\cdot1+1.$
Тому $a_{n}=4n+1$ для будь-якого натурального $n$. Тоді
$a_{n+1}-a_{n}=$
$=(4n+5)-(4n+1)=4,$
тобто кожен член послідовності, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те саме число $4$. Отже, послідовність є арифметичною прогресією з різницею $d=4$.
Відповідь:
$d=4$.