№ 63 ЗПС = № 63 ЗПС
Відомо, що за будь-якого значення $n$ сума $n$ перших членів деякої числової послідовності обчислюється за формулою $S_{n}=2n^{2}+3n$. Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією, та знайдіть її різницю.
Розв’язок:
$S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}$
$2(n+1)^{2}+3(n+1)-2n^{2}-3n=$
$=2n^{2}+4n+2+3n+3-2n^{2}-3n=$
$=4n+5$
Оскільки $a_{n+1}=4n+5$, то $a_{n}=4(n-1)+5=4n+1$.
Різниця прогресії $d=a_{n+1}-a_{n}=(4n+5)-(4n+1)=4$.
Лінійна функція від $n$ для $a_{n}$ свідчить про те, що послідовність є арифметичною прогресією.
Відповідь:
$4$.