№ 64 ЗПС = № 64 ЗПС
Послідовність чисел $1$; $8$; $22$; $43$; … має властивість: різниці двох сусідніх чисел (наступного й попереднього) утворюють арифметичну прогресію $7$; $14$; $21$; … . Знайдіть номер члена послідовності, що дорівнює $35\, 351$.
Розв’язок:
Нехай $x_{n}$ — послідовність чисел: $1$; $8$; $22$; $43$; … .
Різниці між сусідніми членами утворюють арифметичну прогресію $a_{n}$: $7$; $14$; $21$; … .
Загальний член цієї прогресії: $a_{n}=7n$.
Тоді $n$-й член послідовності $x_{n}$ можна знайти як суму першого члена та суми перших $(n-1)$ різниць:
$x_{n}=1+\left( a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1} \right)=$
$=1+\frac{a_{1}+a_{n-1}}{2}\cdot(n-1)=$
$=1+\frac{7+7(n-1)}{2}\cdot(n-1)=$
$=1+\frac{7n(n-1)}{2}$
Знайдемо номер $n$, для якого $x_{n}=35\, 351$:
$1+\frac{7n(n-1)}{2}=35\, 351$
$\frac{7n(n-1)}{2}=35\, 350$
$7n(n-1)=70\, 700$
$n(n-1)=10\, 100$
$n^{2}-n-10\, 100=0$
За теоремою Вієта або через дискримінант:
$D=1+4\cdot10\, 100=$
$=40\, 401=201^{2}$
$n=\frac{1\pm201}{2}$
Оскільки $n>0$, то $n=\frac{202}{2}=101$.
Отже, число $35\, 351$ є $101$-м членом послідовності.
Відповідь:
$101$.