№ 65 ЗПС = № 65 ЗПС
У зростаючій арифметичній прогресії $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$, що складається із цілих чисел, найбільший член дорівнює сумі квадратів решти членів. Знайдіть цю прогресію.
Розв’язок:
Оскільки прогресія зростаюча, то найбільший її член — $a_{4}$. За умовою:
$a_{4}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$
$a_{1}+3d=$
$=a_{1}^{2}+\left( a_{1}+d \right)^{2}+\left( a_{1}+2d \right)^{2}=$
$=3a_{1}^{2}+6a_{1}d+5d^{2}$
Маємо рівняння:
$3a_{1}^{2}+(6d-1)a_{1}+5d^{2}-3d=0$
Звідси
$a_{1}=\frac{1-6d\pm\sqrt{1-12d+36d^{2}-60d^{2}+36d}}{6}=$
$=\frac{1-6d\pm\sqrt{-24d^{2}+24d+1}}{6}$
Рівняння має розв’язки, лише якщо
$-24d^{2}+24d+1\geq0.$
Прогресія зростаюча і складається з цілих чисел, тому її різниця $d$ — натуральне число.
Якщо $d\geq2$, то
$-24d^{2}+24d+1=1-24d(d-1)\leq$
$\leq1-24\cdot2\cdot1<0.$
Отже, $d=1$.
Тоді дискримінант дорівнює $1$, і
$a_{1}=\frac{1-6-1}{6}=-1$
або
$a_{1}=\frac{1-6+1}{6}=-\frac{2}{3}.$
Друге значення не задовольняє умову задачі, оскільки $a_{1}$ — ціле число.
Отже, $a_{1}=-1$, $a_{2}=0$, $a_{3}=1$, $a_{4}=2$.
Відповідь:
$-1$; $0$; $1$; $2$.