№ 65 ЗПС = № 65 ЗПС
У зростаючій арифметичній прогресії $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$, що складається із цілих чисел, найбільший член дорівнює сумі квадратів решти членів. Знайдіть цю прогресію.
Розв’язок:
$a_{n}$ — найбільший член. За умовою $a_{4}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$ або $a_{1}+3d=a_{1}^{2}+(a_{1}+d)^{2}+(a_{1}+2d)^{2}=3a_{1}^{2}+6a_{1}d+5d^{2}$.
Маємо рівняння:
$3a_{1}^{2}+(6d-1)a_{1}+5d^{2}-3d=0$
Звідси
$a_{1}=\frac{1-6d\pm\sqrt{1-12d+36d^{2}-60d^{2}+36d}}{6}=$
$=\frac{1-6d\pm\sqrt{-24d^{2}+24d+1}}{6}$
Вочевидь, що $d=1$.
Таким чином, $a_{1}=\frac{1-6-1}{6}=-1$ або $a_{1}=\frac{1-6+1}{6}=-\frac{2}{3}$ — не задовольняє умови задачі, оскільки $a_{1}$ — ціле.
Отже, $a_{1}=-1$, $a_{2}=0$, $a_{3}=1$, $a_{4}=2$.
Відповідь:
$-1$, $0$, $1$, $2$.