№ 66 ЗПС = № 66 ЗПС
Доведіть, що коли сторони трикутника утворюють геометричну прогресію, то його висоти також утворюють геометричну прогресію.
Розв’язок:
Нехай сторони трикутника утворюють геометричну прогресію: $a$, $aq$, $aq^{2}$.
З формули $S=\frac{1}{2}ah$ знайдемо висоти трикутника:
$h_{1}=\frac{2S}{a}$, $h_{2}=\frac{2S}{aq}$, $h_{3}=\frac{2S}{aq^{2}}$.
Послідовність висот:
$\frac{2S}{a},\frac{2S}{aq},\frac{2S}{aq^{2}}$
Вони утворюють геометричну прогресію, в якій перший член — $\frac{2S}{a}$, а знаменник — $\frac{1}{q}$.
Що й треба було довести.