№ 67 ЗПС = № 67 ЗПС
Послідовність $(b_{n})$ — скінченна геометрична прогресія. Доведіть, що
$\frac{S_{n}-b_{n}}{S_{n}-b_{1}}=\frac{1}{q}$
Розв’язок:
Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}$
Знайдемо чисельник та знаменник дробу:
$S_{n}-b_{n}=\frac{b_{1}\left( 1-q^{n} \right)}{1-q}-b_{n}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n}-b_{n}(1-q)}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n}-b_{n}+b_{n}q}{1-q}$
Оскільки $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$, то $b_{n}q=b_{1}q^{n}$. Підставимо це:
$S_{n}-b_{n}=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n}-b_{1}q^{n-1}+b_{1}q^{n}}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n-1}}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}(1-q^{n-1})}{1-q}$
Тепер знаменник:
$S_{n}-b_{1}=\frac{b_{1}\left( 1-q^{n} \right)}{1-q}-b_{1}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n}-b_{1}(1-q)}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}q^{n}-b_{1}+b_{1}q}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}q-b_{1}q^{n}}{1-q}=\frac{b_{1}q(1-q^{n-1})}{1-q}$
Знайдемо відношення:
$\frac{S_{n}-b_{n}}{S_{n}-b_{1}}=\frac{\frac{b_{1}\left( 1-q^{n-1} \right)}{1-q}}{\frac{b_{1}q\left( 1-q^{n-1} \right)}{1-q}}=$
$=\frac{b_{1}(1-q^{n-1})}{b_{1}q(1-q^{n-1})}=\frac{1}{q}$
Що й треба було довести.