№ 68 ЗПС = № 68 ЗПС
$a,b,c$ — послідовні члени геометричної прогресії. Доведіть, що
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a}=\frac{b^{2}+c^{2}}{c}$
Розв’язок:
Оскільки $a,b,c$ — послідовні члени геометричної прогресії, то $b=aq$, $c=aq^{2}$, тоді
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a}=\frac{a^{2}+a^{2}q^{2}}{a}=$
$=\frac{a^{2}(1+q^{2})}{a}=a(1+q^{2})$
$\frac{b^{2}+c^{2}}{c}=\frac{a^{2}q^{2}+a^{2}q^{4}}{aq^{2}}=$
$=\frac{a^{2}q^{2}(1+q^{2})}{aq^{2}}=a(1+q^{2})$
Отже, $\frac{a^{2}+b^{2}}{a}=\frac{b^{2}+c^{2}}{c}$, що й треба було довести.