№ 69 ЗПС = № 69 ЗПС
Дві геометричні прогресії складаються з однакової кількості членів. Перший член і знаменник першої прогресії дорівнюють відповідно $20$ і $\frac{3}{4}$, а перший член і знаменник другої відповідно дорівнюють $4$ і $\frac{2}{3}$. Якщо перемножити члени цих прогресій з однаковими номерами, то сума всіх добутків дорівнюватиме $158\frac{3}{4}$. Знайдіть, скільки членів у цих прогресіях.
Розв’язок:
Нехай $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ — геометрична прогресія, в якій $b_{1}=20$, $q_{1}=\frac{3}{4}$.
$c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ — геометрична прогресія, в якій $c_{1}=4$, $q_{2}=\frac{2}{3}$.
$b_{1}c_{1}=80$, $b_{2}c_{2}=40$, $b_{3}c_{3}=20$, … — отримали геометричну прогресію, в якій перший член дорівнює $80$, а знаменник $\frac{1}{2}$.
Тоді маємо:
$S=\frac{b_{1}c_{1}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}$
$\frac{80\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}=158\frac{3}{4}$
$160\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{635}{4}$
$640\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n})=635$
$640-640(\frac{1}{2})^{n}=635$
$640(\frac{1}{2})^{n}=5$
$(\frac{1}{2})^{n}=\frac{5}{640}$
$(\frac{1}{2})^{n}=\frac{1}{128}$
$(\frac{1}{2})^{n}=(\frac{1}{2})^{7}$
$n=7$.
Отже, в цих прогресіях по $7$ членів.
Відповідь:
$7$.