Завдання № 70

№ 70 ЗПС = № 70 ЗПС

У зростаючій геометричній прогресії сума першого і останнього членів дорівнює 257, а добуток другого і передостаннього членів дорівнює 256. Знайдіть кількість членів прогресії, якщо їх сума дорівнює 511.

$\begin{cases} b_{1}+b_{n}=257 \\ b_{2}\cdot b_{n-1}=256 \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}+b_{1}q^{n-1}=257 \\ b_{1}q\cdot b_{1}q^{n-2}=256 \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}(1+q^{n-1})=257 \\ b_{1}^{2}\cdot q^{n-1}=256 \end{cases}$

$q^{n-1}=\frac{256}{b_{1}^{2}}$

$b_{1}+b_{1}\cdot\frac{256}{b_{1}^{2}}=257$

$b_{1}+\frac{256}{b_{1}}=257$

$b_{1}^{2}-257b_{1}+256=0$

Корені рівняння: $b_{1}=1$ або $b_{1}=256$.

Якщо $b_{1}=256$, то $b_{n}=257-256=1$. Оскільки $b_{1}>b_{n}$, прогресія спадна, що суперечить умові.

Отже, $b_{1}=1$. Тоді $b_{n}=257-1=256$.

Скористаємося формулою суми геометричної прогресії:

$S_{n}=\frac{b_{n}q-b_{1}}{q-1}$

$511=\frac{256q-1}{q-1}$

$511q-511=256q-1$

$255q=510$

$q=2$

$S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

$\frac{1(1-2^{n})}{1-2}=511$

$2^{n}-1=511$

$2^{n}=512$

$2^{n}=2^{9}$

$n=9$

$9$.