№ 71 ЗПС = № 71 ЗПС
Знайдіть усі прогресії, які є одночасно й арифметичними, і геометричними.
Розв’язок:
Нехай послідовність $(a_{n})$ є одночасно арифметичною з різницею $d$ та геометричною зі знаменником $q$.
Тоді для будь-яких трьох послідовних членів $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$ мають виконуватися умови:
$a_{n}=a_{n-1}+d$ та $a_{n}=a_{n-1}\cdot q$.
Члени геометричної прогресії за означенням відмінні від нуля.
За властивістю геометричної прогресії
$a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1},$
а за властивістю арифметичної прогресії
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$
Тоді
$\left( \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \right)^{2}=a_{n-1}a_{n+1}$
$a_{n-1}^{2}+2a_{n-1}a_{n+1}+a_{n+1}^{2}=$
$=4a_{n-1}a_{n+1}$
$\left( a_{n-1}-a_{n+1} \right)^{2}=0$
Отже, $a_{n-1}=a_{n+1}$, а тоді й
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=a_{n-1}.$
Усі члени послідовності рівні: $d=0$, $q=1$.
Навпаки, послідовність $a$; $a$; $a$; …, де $a\neq0$, є арифметичною прогресією ($d=0$) і геометричною прогресією ($q=1$).
Відповідь:
Послідовності однакових, відмінних від нуля, чисел.