№ 71 ЗПС = № 71 ЗПС
Знайдіть усі прогресії, які є одночасно й арифметичними, і геометричними.
Розв’язок:
Нехай послідовність $(a_{n})$ є одночасно арифметичною з різницею $d$ та геометричною зі знаменником $q$.
Тоді для будь-яких трьох послідовних членів $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$ мають виконуватися умови:
$a_{n}=a_{n-1}+d$ та $a_{n}=a_{n-1}\cdot q$.
Якщо $a_{1}=0$, то всі члени прогресії дорівнюють $0$. Така послідовність є арифметичною ($d=0$) та геометричною (будь-яке $q$). Проте в умові зазвичай мається на увазі прогресія, що не є тривіальною нульовою.
Якщо $a_{1}\neq0$:
З рівності $a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ (властивість геометричної прогресії) та $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ (властивість арифметичної прогресії) випливає, що $a_{n-1}=a_{n}=a_{n+1}$.
Це можливо лише тоді, коли $d=0$ та $q=1$.
Отже, це послідовності вигляду $a,a,a,\ldots$, де $a\neq0$.
Відповідь:
Послідовності однакових, відмінних від нуля, чисел.