№ 72 ЗПС = № 72 ЗПС
Сума трьох послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює 15. Якщо від перших двох її членів відняти по 1, а до третього додати 1, то три отриманих числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть три початкових числа.
Розв’язок:
Нехай $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ — три послідовні члени зростаючої арифметичної прогресії, тоді:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}=15$
Оскільки $a_{2}=a_{1}+d$ та $a_{3}=a_{1}+2d$, маємо:
$a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=15$
$3a_{1}+3d=15$
$a_{1}+d=5$
$a_{2}=5$
Тоді $a_{1}=5-d$, а $a_{3}=5+d$.
За умовою, числа $(a_{1}-1)$, $(a_{2}-1)$, $(a_{3}+1)$ утворюють геометричну прогресію:
$(5-d-1)$, $(5-1)$, $(5+d+1)$
$(4-d)$, $4$, $(6+d)$
Використаємо властивість членів геометричної прогресії:
$4^{2}=(4-d)(6+d)$
$16=24+4d-6d-d^{2}$
$d^{2}+2d-8=0$
Корені рівняння:
$d_{1}=2$, $d_{2}=-4$
Оскільки прогресія зростаюча, то $d>0$, отже $d=2$.
Тоді:
$a_{1}=5-2=3$
$a_{2}=5$
$a_{3}=5+2=7$
Відповідь:
$3$, $5$, $7$.